Attendre la première pièce défectueuse — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Attendre la première pièce défectueuse

Suites et séries numériques · niveau 2

Énoncé

Une machine produit des pièces dont chacune, indépendamment des autres, est défectueuse avec la probabilité $p = 0, 02$ . On note $X$ le rang de la première pièce défectueuse : $P (X = n) = p (1 - p)^{n - 1}$ pour $n \geq 1$ .

Vérifier que $\sum_{n \geq 1} P (X = n) = 1$ .
L'espérance de $X$ est la somme de la série $\sum_{n \geq 1} n P (X = n)$ . Justifier sa convergence et montrer que $E (X) = \frac{1}{p}$ . Interpréter.
Calculer $P (X > N) = \sum_{n > N} P (X = n)$ . À partir de combien de pièces contrôlées est-on sûr à $99 %$ d'avoir rencontré une pièce défectueuse ?

Corrigé

On pose $q = 1 - p = 0, 98$ .

$\sum_{n \geq 1} p q^{n - 1} = p \cdot \frac{1}{1 - q} = \frac{p}{p} = 1$ (série géométrique de raison $q \in] 0, 1 [$ ).
$\sum_{n \geq 1} n p q^{n - 1} = \frac{p}{q} \sum_{n \geq 1} n q^{n}$ , qui converge (proposition 1.34, $∣ q ∣ < 1$ ) et vaut $\frac{p}{q} \cdot \frac{q}{( 1 - q ) ^{2}} = \frac{p}{p ^{2}} = \frac{1}{p} = 50$ . En moyenne, la première pièce défectueuse est la cinquantième : une pièce sur cinquante est défectueuse.
$P (X > N) = \sum_{n > N} p q^{n - 1} = p \cdot \frac{q ^{N}}{1 - q} = q^{N}$ (c'est aussi la probabilité que les $N$ premières pièces soient bonnes). On veut $0, 9 8^{N} \leq 0, 01$ , soit $N \geq \frac{l n 100}{l n ( 1/0 , 98 )} \approx 227, 9$ : il faut contrôler $228$ pièces — plus de quatre fois l'espérance.