mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Coût global actualisé d'un ouvrage

Suites et séries numériques · niveau 2

Énoncé

Pour comparer des dépenses qui n'ont pas lieu la même année, on les actualise : placée au taux $t$ , une somme $A$ devient $A (1 + t)$ en un an ; réciproquement, une dépense $C$ prévue dans $n$ ans « pèse » aujourd'hui $C β^{n}$ , avec $β = \frac{1}{1 + t}$ . Le coût global d'un ouvrage est l'investissement initial augmenté de la somme des dépenses futures actualisées. On prend $t = 5 %$ .

Un ouvrage coûte chaque année un entretien constant $C = 40$ k€. Calculer $V_{N} = \sum_{n = 1}^{N} C β^{n}$ , puis $V_{\infty} = lim V_{N}$ , et vérifier que $V_{\infty} = C / t$ . Application numérique : $V_{\infty}$ et $V_{30}$ .
On compare deux conceptions : la variante 1 coûte $1000$ k€ à la construction et $60$ k€ d'entretien par an ; la variante 2 coûte $1500$ k€ et $30$ k€ par an. Comparer les coûts globaux (a) sur une durée de vie infinie, (b) sur $N = 30$ ans.
Déterminer la durée de vie $N^{⋆}$ à partir de laquelle la variante 2 devient la plus économique.
Ouvrage vieillissant. L'entretien croît avec l'âge : $C_{n} = C (1 + an)$ avec $a = 0, 04$ . Justifier la convergence de $\sum_{n \geq 1} C_{n} β^{n}$ et calculer sa somme.
Dépenses en croissance géométrique. On suppose $C_{n} = C (1 + g)^{n}$ . Pour quelles valeurs de $g$ la série converge-t-elle ? Calculer sa somme pour $g = 3 %$ . Que faire si $g = 7 %$ ?

Corrigé

On a $β = \frac{1}{1 , 05}$ et $\frac{β}{1 - β} = \frac{1}{( 1 + t ) - 1} = \frac{1}{t} = 20$ .

Série géométrique de premier terme $C β$ :

$V_{N} = C β \frac{1 - β ^{N}}{1 - β} = \frac{C}{t} (1 - β^{N}) N \to \infty V_{\infty} = \frac{C}{t} .$

$V_{\infty} = \frac{40}{0 , 05} = 800$ k€ et $V_{30} = 800 (1 - 1, 0 5^{- 30}) \approx 800 \times 0, 7686 \approx 615$ k€. Un entretien perpétuel « vaut » vingt ans d'entretien non actualisé.

(a) Durée infinie : variante 1, $1000 + \frac{60}{0 , 05} = 2200$ k€ ; variante 2, $1500 + \frac{30}{0 , 05} = 2100$ k€. La variante 2 est moins chère. (b) Sur $30$ ans : variante 1, $1000 + 1200 \times 0, 7686 \approx 1922$ k€ ; variante 2, $1500 + 600 \times 0, 7686 \approx 1961$ k€. La variante 1 est moins chère. Le classement s'inverse : la conclusion dépend de la durée de vie retenue, qui doit être justifiée.
La variante 2 est préférable lorsque $1500 + 600 (1 - β^{N}) \leq 1000 + 1200 (1 - β^{N})$ , soit $β^{N} \leq \frac{1}{6}$ , c'est-à-dire $N \geq \frac{l n 6}{l n 1 , 05} \approx 36, 7$ : à partir de $N^{⋆} = 37$ ans.
$C_{n} β^{n} = C β^{n} + C a n β^{n}$ ; les deux séries convergent (série géométrique, et proposition 1.34 avec $x = β < 1$ ; on peut aussi appliquer d'Alembert, le quotient tendant vers $β < 1$ ). La somme vaut

$\frac{C}{t} + C a \frac{β}{( 1 - β ) ^{2}} = \frac{C}{t} + C a \frac{1 + t}{t ^{2}} = 800 + 40 \times 0, 04 \times 420 = 1472 k€ .$

Le vieillissement augmente le coût global de $84 %$ .

$C_{n} β^{n} = C r^{n}$ avec $r = \frac{1 + g}{1 + t}$ : série géométrique, qui converge si et seulement si $r < 1$ , c'est-à-dire $g < t$ . Pour $g = 3 %$ , la somme vaut $C \frac{r}{1 - r} = C \frac{1 + g}{t - g} = 40 \times \frac{1 , 03}{0 , 02} = 2060$ k€. Pour $g = 7 % > t$ , $r > 1$ et la série diverge grossièrement : le coût global sur une durée infinie est infini. Le calcul n'a plus de sens ; il faut raisonner sur une durée de vie finie et prévoir le remplacement de l'ouvrage (ou de l'équipement) avant que son entretien ne l'emporte.

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