La méthode de Héron — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 1)

La méthode de Héron

Suites et séries numériques · niveau 2

Énoncé

Soit $a > 0$ . On définit $u_{0} > 0$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}})$ .

Montrer que $u_{n + 1} - a = \frac{( u _{n} - a ) ^{2}}{2 u _{n}}$ . En déduire que $u_{n} \geq a$ pour tout $n \geq 1$ .
Montrer que $(u_{n})_{n \geq 1}$ est décroissante, puis qu'elle converge vers $a$ .
On note $e_{n} = u_{n} - a$ . Montrer que $e_{n + 1} \leq \frac{e _{n}^{2}}{2 a}$ pour $n \geq 1$ . Quel est le type de convergence ?
Application : $a = 10$ , $u_{0} = 3$ . Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions, et estimer $e_{3}$ sans calculer $u_{3}$ .

$u_{n + 1} - a = \frac{u _{n}^{2} + a - 2 a u _{n}}{2 u _{n}} = \frac{( u _{n} - a ) ^{2}}{2 u _{n}} \geq 0$ , puisque $u_{n} > 0$ (par récurrence immédiate). Donc $u_{n} \geq a$ pour $n \geq 1$ , quel que soit $u_{0} > 0$ .
$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a - u _{n}^{2}}{2 u _{n}} \leq 0$ pour $n \geq 1$ . Décroissante et minorée par $a$ , la suite converge vers $ℓ \geq a > 0$ , point fixe de $x \mapsto \frac{1}{2} (x + \frac{a}{x})$ : $ℓ = \frac{a}{ℓ}$ , soit $ℓ = a$ .
Pour $n \geq 1$ , $u_{n} \geq a$ , donc $e_{n + 1} = \frac{e _{n}^{2}}{2 u _{n}} \leq \frac{e _{n}^{2}}{2 a}$ : convergence quadratique, le nombre de chiffres exacts double à chaque pas.
$u_{1} = \frac{1}{2} (3 + \frac{10}{3}) = \frac{19}{6} \approx 3, 16667$ et $u_{2} = \frac{1}{2} (\frac{19}{6} + \frac{60}{19}) = \frac{721}{228} \approx 3, 1622807$ . On a $e_{1} \approx 4, 4 \times 1 0^{- 3}$ , $e_{2} \leq \frac{e _{1}^{2}}{2 10} \approx 3, 0 \times 1 0^{- 6}$ et $e_{3} \leq \frac{e _{2}^{2}}{2 10} \approx 1, 5 \times 1 0^{- 12}$ : trois pas donnent $10$ à la précision de la machine.