Nature de séries — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Nature de séries

Suites et séries numériques · niveau 2

Énoncé

Déterminer la nature des séries suivantes, en précisant l'argument utilisé.

$a) n \geq 1 \sum \frac{3 n - 1}{n ^{4} + 2} d) n \geq 1 \sum (\frac{2 n + 1}{2 n + 3})^{n} b) n \geq 1 \sum \frac{n ^{2}}{n ^{3} + 1} e) n \geq 1 \sum \frac{1}{n} sin \frac{1}{n} c) n \geq 1 \sum \frac{n ^{2}}{3 ^{n}} f) n \geq 1 \sum (e^{1/ n} - 1)$

Corrigé

a) $u_{n} \sim \frac{3 n}{n ^{4}} = \frac{3}{n ^{3}}$ , Riemann avec $α = 3 > 1$ : convergence.
b) $u_{n} \sim \frac{n ^{2}}{n ^{3}} = \frac{1}{n}$ , Riemann avec $α = 1$ : divergence.
c) d'Alembert : $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = (1 + \frac{1}{n})^{2} \frac{1}{3} \to \frac{1}{3} < 1$ : convergence. (On peut montrer que la somme vaut $\frac{3}{2}$ .)
d) $u_{n} = exp (n ln (1 - \frac{2}{2 n + 3}))$ et $n ln (1 - \frac{2}{2 n + 3}) \sim - \frac{2 n}{2 n + 3} \to - 1$ , donc $u_{n} \to e^{- 1} \neq = 0$ : divergence grossière.
e) $sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$ , donc $u_{n} \sim \frac{1}{n ^{3/2}}$ , Riemann avec $α = \frac{3}{2} > 1$ : convergence.
f) $e^{1/ n} - 1 \sim \frac{1}{n}$ : divergence (même nature que la série harmonique), bien que $u_{n} \to 0$ .