Nature de séries, suite — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Nature de séries, suite

Suites et séries numériques · niveau 2

Énoncé

Même question.

$a) n \geq 1 \sum (1 - cos \frac{1}{n}) e) n \geq 0 \sum \frac{5 ^{n}}{n ! + 2 ^{n}} b) n \geq 0 \sum (n + 1 - n) f) n \geq 1 \sum \frac{ln n}{n ^{2}} c) n \geq 1 \sum \frac{n + 1 - n}{n} g) n \geq 2 \sum \frac{1}{n ln n} (comparer a ˋ une int e ˊ grale) d) n \geq 0 \sum n^{2} e^{- n}$

Corrigé

a) $1 - cos \frac{1}{n} \sim \frac{1}{2 n ^{2}}$ : convergence.
b) Série télescopique : $S_{n} = n + 1 - 0 = n + 1 \to + \infty$ : divergence. (Et pourtant $u_{n} = \frac{1}{n + 1 + n} \to 0$ .)
c) $u_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 + n )} \sim \frac{1}{2 n ^{3/2}}$ : convergence.
d) d'Alembert : $(1 + \frac{1}{n})^{2} e^{- 1} \to e^{- 1} < 1$ : convergence.
e) $0 \leq u_{n} \leq \frac{5 ^{n}}{n !}$ , terme d'une série exponentielle convergente : convergence par comparaison.
f) Pour $n \geq 1$ , $ln n \leq n$ (croissances comparées ; l'inégalité est en fait vraie pour tout $n \geq 1$ ), donc $0 \leq u_{n} \leq \frac{1}{n ^{3/2}}$ : convergence. Un équivalent ne suffit pas ici, faute de terme de référence équivalent ; c'est la comparaison qui conclut.
g) $f (x) = \frac{1}{x l n x}$ est positive et décroissante sur $[2, + \infty [$ , et $\int_{2}^{N} \frac{d x}{x l n x} = ln (ln N) - ln (ln 2) \to + \infty$ . Par la comparaison série–intégrale, $S_{N} \geq \int_{2}^{N + 1} f \to + \infty$ : divergence — d'une lenteur encore plus extrême que la série harmonique.