Nature de suites — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Nature de suites

Suites et séries numériques · niveau 2

Énoncé

Étudier la nature (convergence, limite) des suites suivantes.

$a) u_{n} = \frac{cos n + 2 sin ( n ^{3} )}{3 n} d) u_{n} = n + 2 - n g) u_{n} = \frac{1 0 ^{n}}{n !} b) u_{n} = \frac{3 n + ( - 1 ) ^{n}}{2 n - ( - 1 ) ^{n}} e) u_{n} = n^{2} e^{- 2 n} h) u_{n} = \frac{2 ^{n} n !}{n ^{n}} c) u_{n} = \frac{2 n ^{4} + n}{3 n ^{3} + sin n + ln n} f) u_{n} = \frac{n ^{2}}{3 ^{n}} i) u_{n} = \frac{n ^{4} + 3 ^{n}}{n ^{3} + 2 ^{n}}$

Corrigé

a) $cos n + 2 sin (n^{3}) \leq 3$ , donc $∣ u_{n} ∣ \leq \frac{3}{n ^{1/3}} \to 0$ : $u_{n} \to 0$ (borné fois une suite qui tend vers $0$ ).
b) On divise par $n$ : $u_{n} = \frac{3 + ( - 1 ) ^{n} / n}{2 - ( - 1 ) ^{n} / n} \to \frac{3}{2}$ .
c) Termes dominants : $u_{n} \sim \frac{2 n ^{4}}{3 n ^{3}} = \frac{2 n}{3}$ , donc $u_{n} \to + \infty$ (divergence).
d) Quantité conjuguée : $u_{n} = \frac{2}{n + 2 + n} \sim \frac{1}{n} \to 0$ .
e) $u_{n} = \frac{n ^{2}}{( e ^{2} ) ^{n}} \to 0$ par croissances comparées ( $n^{α} ≪ a^{n}$ avec $a = e^{2}$ ).
f) $u_{n} \to 0$ par croissances comparées ; le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = (1 + \frac{1}{n})^{2} \frac{1}{3} \to \frac{1}{3}$ le confirme.
g) $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{10}{n + 1} \to 0 < 1$ : $u_{n} \to 0$ (lemme 1.11). La suite croît pourtant jusqu'à $n = 9$ ( $u_{9} = u_{10} \approx 2756$ ).
h) $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 ( n + 1 ) n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n + 1}} = \frac{2}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}} \to \frac{2}{e} < 1$ : $u_{n} \to 0$ .
i) $u_{n} = \frac{3 ^{n}}{2 ^{n}} \cdot \frac{1 + n ^{4} / 3 ^{n}}{1 + n ^{3} / 2 ^{n}} \sim (\frac{3}{2})^{n}$ , donc $u_{n} \to + \infty$ (divergence).