Télescopage et majoration d'un reste — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Télescopage et majoration d'un reste

Suites et séries numériques · niveau 2

Énoncé

Déterminer $a, b \in R$ tels que $\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k + 2}$ , puis calculer $n \to + \infty lim k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 2 )}$ .
Sur le même modèle, calculer $k = 0 \sum + \infty \frac{1}{k ^{2} + 5 k + 6}$ .
Montrer que, pour tout $k \geq 2$ , $\frac{1}{k ^{3}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{( k - 1 ) ^{2}} - \frac{1}{k ^{2}})$ et que, pour tout $k \geq 1$ , $\frac{1}{k ^{3}} \geq \frac{1}{2} (\frac{1}{k ^{2}} - \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}})$ . En déduire que le reste $R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{1}{k ^{3}}$ vérifie

$\frac{1}{2 ( n + 1 ) ^{2}} \leq R_{n} \leq \frac{1}{2 n ^{2}} (n \geq 1) .$

Combien de termes faut-il sommer pour connaître $\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k ^{3}}$ à $1 0^{- 4}$ près ?

Corrigé

En multipliant par $k$ puis en faisant $k = 0$ : $a = \frac{1}{2}$ ; par $k + 2$ puis $k = - 2$ : $b = - \frac{1}{2}$ . Donc $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) \to \frac{3}{4}$ . Ici, le télescopage saute d'un cran : ce sont les termes $\frac{1}{k}$ et $\frac{1}{k + 2}$ qui se compensent, et il reste deux termes au début et deux à la fin.
$k^{2} + 5 k + 6 = (k + 2) (k + 3)$ et $\frac{1}{( k + 2 ) ( k + 3 )} = \frac{1}{k + 2} - \frac{1}{k + 3}$ , donc $\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k ^{2} + 5 k + 6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 3} \to \frac{1}{2}$ .
Pour $k \geq 2$ : $\frac{1}{2} (\frac{1}{( k - 1 ) ^{2}} - \frac{1}{k ^{2}}) - \frac{1}{k ^{3}} = \frac{3 k - 2}{2 k ^{3} ( k - 1 ) ^{2}} \geq 0$ . Pour $k \geq 1$ : $\frac{1}{k ^{3}} - \frac{1}{2} (\frac{1}{k ^{2}} - \frac{1}{( k + 1 ) ^{2}}) = \frac{3 k + 2}{2 k ^{3} ( k + 1 ) ^{2}} \geq 0$ . On somme de $k = n + 1$ à l'infini ; les deux sommes de droite sont télescopiques :

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} \leq R_{n} \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n ^{2}} .$

C'est exactement l'encadrement (1.1) que donne la comparaison série–intégrale avec $f (x) = \frac{1}{x ^{3}}$ : le télescopage est la version « discrète » de l'intégrale.

Il suffit que $\frac{1}{2 n ^{2}} \leq 1 0^{- 4}$ , soit $n^{2} \geq 5000$ , c'est-à-dire $n \geq 71$ . Soixante et onze termes suffisent (on trouve $\sum_{k \geq 1} \frac{1}{k ^{3}} \approx 1, 2021$ ).