Une suite récurrente et ses trois destins — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Une suite récurrente et ses trois destins

Suites et séries numériques · niveau 2

Énoncé

On pose $f (x) = \frac{x ^{2} + 2}{3}$ et l'on étudie la suite définie par $u_{0} \geq 0$ et $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

Déterminer les points fixes de $f$ et le signe de $f (x) - x$ sur $R^{+}$ . Vérifier que $f$ est croissante sur $R^{+}$ et que les intervalles $[0, 1]$ et $[1, 2]$ sont stables par $f$ .
On suppose $u_{0} = 0$ . Montrer que $(u_{n})$ est croissante, majorée par $1$ , et déterminer sa limite.
On suppose $u_{0} = \frac{3}{2}$ . Montrer que $(u_{n})$ converge et donner sa limite.
On suppose $u_{0} = 3$ . Montrer que $u_{n} \to + \infty$ .
Que se passe-t-il si $u_{0} = 2$ ? En quoi ce point fixe diffère-t-il du point fixe $1$ du point de vue d'un algorithme ?

$f (x) - x = \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{3} = \frac{( x - 1 ) ( x - 2 )}{3}$ : les points fixes sont $1$ et $2$ ; $f (x) > x$ sur $[0, 1 [$ et sur $] 2, + \infty [$ , $f (x) < x$ sur $] 1, 2 [$ . La dérivée $f^{'} (x) = \frac{2 x}{3} \geq 0$ : $f$ est croissante sur $R^{+}$ . Donc $f ([0, 1]) = [f (0), f (1)] = [\frac{2}{3}, 1] \subset [0, 1]$ et $f ([1, 2]) = [1, 2]$ .
$u_{0} = 0 \in [0, 1]$ , intervalle stable : tous les $u_{n}$ sont dans $[0, 1]$ . Comme $u_{1} = \frac{2}{3} \geq u_{0}$ et $f$ est croissante, $(u_{n})$ est croissante (proposition 1.9). Croissante et majorée par $1$ , elle converge vers un point fixe de $[0, 1]$ : $u_{n} \to 1$ .
$u_{0} = \frac{3}{2} \in [1, 2]$ , stable, et $u_{1} = f (\frac{3}{2}) = \frac{17}{12} < u_{0}$ : la suite est décroissante et minorée par $1$ , donc converge vers un point fixe de $[1, \frac{3}{2}]$ : $u_{n} \to 1$ .
Pour $x > 2$ , $f (x) > x > 2$ : par récurrence $u_{n} > 2$ et $u_{n + 1} > u_{n}$ . Si $(u_{n})$ était majorée, elle convergerait vers un point fixe $ℓ \geq u_{0} = 3$ , or il n'y en a pas. Croissante non majorée, elle tend vers $+ \infty$ .
$u_{0} = 2$ donne la suite constante égale à $2$ . Mais le moindre écart est amplifié : au-dessus de $2$ , la suite part à l'infini ; au-dessous, elle rejoint $1$ . Le point fixe $2$ est répulsif ( $f^{'} (2) = \frac{4}{3} > 1$ ), le point fixe $1$ est attractif ( $f^{'} (1) = \frac{2}{3} < 1$ ) : un algorithme itératif ne peut trouver numériquement que le second.