Vrai ou faux ? — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Vrai ou faux ?

Suites et séries numériques · niveau 2

Énoncé

Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant par une démonstration ou par un contre-exemple.

Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ .
Toute suite non minorée tend vers $- \infty$ .
Toute suite bornée est convergente.
Si $(u_{n})$ est décroissante et tend vers $0$ , alors $\sum u_{n}$ converge.
Si $f : R^{+} \to R^{+}$ est décroissante et si $u_{n + 1} = f (u_{n})$ pour tout $n$ , alors $(u_{n})$ est décroissante.
Si $u_{n} \geq 0$ et si $\sum u_{n}$ converge, alors $\sum u_{n}^{2}$ converge.
Si $u_{n}, v_{n} > 0$ et $u_{n} - v_{n} \to 0$ , alors $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.

Vrai : c'est le théorème de la limite monotone. Si $(u_{n})$ est croissante et non majorée, pour tout $A$ il existe $N$ avec $u_{N} \geq A$ , et alors $u_{n} \geq u_{N} \geq A$ pour $n \geq N$ .
Faux : $u_{n} = n (- 1)^{n}$ n'est pas minorée (ses termes impairs valent $- n$ ) mais ne tend pas vers $- \infty$ (ses termes pairs valent $n$ ).
Faux : $u_{n} = (- 1)^{n}$ est bornée et diverge.
Faux : $u_{n} = \frac{1}{n}$ est décroissante, tend vers $0$ , et $\sum \frac{1}{n}$ diverge.
Faux : avec $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ et $u_{0} = 1$ , on obtient $u_{1} = \frac{1}{2}$ puis $u_{2} = \frac{2}{3} > u_{1}$ . Une fonction décroissante fait osciller la suite autour du point fixe (figure 1.2).
Vrai : $u_{n} \to 0$ (divergence grossière sinon), donc $0 \leq u_{n} \leq 1$ à partir d'un certain rang, et alors $u_{n}^{2} \leq u_{n}$ . On conclut par comparaison.
Faux : $u_{n} = \frac{1}{n}$ et $v_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ vérifient $u_{n} - v_{n} \to 0$ , mais $\sum u_{n}$ diverge et $\sum v_{n}$ converge. Le bon énoncé exige $u_{n} \sim v_{n}$ , c'est-à-dire $u_{n} / v_{n} \to 1$ , et non $u_{n} - v_{n} \to 0$ .