Circuit RLC série

• Avec $i=C{u}^{\prime }$, $i^{\prime }=C{u}^{\prime \prime }$ et la loi des mailles devient $LC{u}^{\prime \prime }+RC{u}^{\prime }+u=E(t)$. Les conditions initiales sont $u(0)=0$ (condensateur déchargé) et $u^{\prime }(0)=i(0)/C=0$. Équation caractéristique : $LC{r}^2+RCr+1=0$, de discriminant $\Delta =R^2{C}^2-4LC$.

• $R>R_c=2\sqrt{L/C}$ : $\Delta >0$, deux racines réelles négatives, régime apériodique ;
• $R=R_c$ : régime critique ;
• $R<R_c$ : racines $-\alpha \pm i\omega$ avec $\alpha =\frac{R}{2L}$ et $\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\alpha }^2}$, régime pseudo-périodique.

Ici $LC=10^{-5}$ s${}^2$, donc ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\approx 316$ rad/s (environ $50$ Hz), et $R_c=2\sqrt{\frac{0,5}{2\times 10^{-5}}}\approx 316\Omega$.

• $R=100\Omega <R_c$ : $\alpha =\frac{100}{2\times 0,5}=100$ s${}^{-1}$ et $\omega =\sqrt{10^5-10^4}=300$ rad/s. La constante $10$ est solution particulière, donc $u=10+{\mathrm{e}}^{-100t}(A\cos 300t+B\sin 300t)$. Alors $u(0)=10+A=0$ donne $A=-10$, et $u^{\prime }(0)=-100A+300B=0$ donne $B=-\frac{10}{3}$ :

$$u(t)=10-10{\mathrm{e}}^{-100t}(\cos 300t+\frac{1}{3}\sin 300t).$$

En dérivant, les termes en $\cos$ se compensent : $u^{\prime }(t)=\frac{10000}{3}{\mathrm{e}}^{-100t}\sin 300t$, qui s'annule pour la première fois en $t=\frac{\pi }{300}\approx 10,5$ ms. Là, $u=10(1+{\mathrm{e}}^{-\pi /3})\approx 13,5$ V : la tension dépasse de $35\%$ sa valeur finale avant de s'y stabiliser en oscillant. Les composants doivent supporter ce dépassement.

• Avec $R=0$ : $u^{\prime \prime }+{\omega }_0^{2}u={\omega }_0^2{E}_0\cos \omega t$. Comme $\pm i\omega$ ne sont pas racines, on cherche $K\cos \omega t$ : $K({\omega }_0^2-{\omega }^2)={\omega }_0^2{E}_0$, soit $K=\frac{E_0}{1-{\omega }^2/{\omega }_0^2}$. La solution générale est $K\cos \omega t+\lambda \cos {\omega }_{0}t+\mu \sin {\omega }_{0}t$ ; les conditions initiales donnent $\lambda =-K$, $\mu =0$ :

$$u(t)=\frac{E_0}{1-{\omega }^2/{\omega }_0^2}(\cos \omega t-\cos {\omega }_{0}t).$$

L'amplitude $\left|K\right|$ tend vers $+\infty$ quand $\omega \to {\omega }_0$.

• Pour $\omega ={\omega }_0$, le second membre est solution de l'équation homogène (résonance). Comme dans l'exemple 2.36, on cherche $t(A\cos {\omega }_{0}t+B\sin {\omega }_{0}t)$ et l'on trouve

$$u(t)=\frac{E_0{\omega }_0}{2}t\sin ({\omega }_{0}t),$$

qui vérifie $u(0)=0$ et $u^{\prime }(0)=0$. L'amplitude $\frac{E_0{\omega }_0}{2}t$ atteint $100$ V pour $t=\frac{2\times 100}{10\times 316}\approx 63$ ms. Une résistance, même faible, borne cette croissance : pour $R=100\Omega$, l'amplitude à la résonance se stabilise à $\frac{E_0}{RC{\omega }_0}\approx 15,8$ V, soit $1,6$ fois la tension appliquée (c'est le facteur de qualité du circuit). Plus $R$ est faible, plus la surtension est forte : la résonance, utile pour sélectionner une fréquence (radio), est un danger pour l'isolation des composants.