Coordonnées cylindriques

Dans $R^{3}$ , on passe des coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$ aux coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ par

$x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, r > 0, θ \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [.$

Calculer la matrice jacobienne $J_{1}$ de $(r, θ, z) \mapsto (x, y, z)$ et son déterminant.
Exprimer $r$ , $θ$ , $z$ en fonction de $x$ , $y$ , $z$ , puis calculer la matrice jacobienne $J_{2}$ de $(x, y, z) \mapsto (r, θ, z)$ ; l'écrire en fonction de $r$ et $θ$ .
Vérifier que $J_{1} J_{2} = I_{3}$ .
Soit $f (x, y, z) = F (r, θ, z)$ . À l'aide de la règle de la chaîne, exprimer $\frac{\partial f}{\partial x}$ en fonction des dérivées partielles de $F$ . Contrôler sur $F (r, θ, z) = r^{2} sin (2 θ)$ .

$J_{1} = \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial r} \frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial x}{\partial θ} \frac{\partial y}{\partial θ} \frac{\partial z}{\partial θ} \frac{\partial x}{\partial z} \frac{\partial y}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial z} = cos θ sin θ 0 - r sin θ r cos θ 0 001,$

et, en développant selon la dernière ligne, $det J_{1} = r cos^{2} θ + r sin^{2} θ = r$ . Un élément de volume vaut $r d r d θ d z$ .

Comme $x = r cos θ > 0$ : $r = x^{2} + y^{2}$ , $θ = arctan \frac{y}{x}$ , $z = z$ . Les dérivées de $r$ et $θ$ ont été calculées dans l'exemple 2.20 ; $z$ ne dépend que de $z$ , et $r$ , $θ$ ne dépendent pas de $z$ :

$J_{2} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} - \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} 0 001 = cos θ - \frac{sin θ}{r} 0 sin θ \frac{cos θ}{r} 0 001 .$

$J_{1} J_{2} = cos^{2} θ + sin^{2} θ sin θ cos θ - cos θ sin θ 0 cos θ sin θ - sin θ cos θ sin^{2} θ + cos^{2} θ 0 001 = I_{3} .$

Conformément à la proposition 2.19, on aurait pu obtenir $J_{2}$ en inversant $J_{1}$ ; le bloc $2 \times 2$ est celui des coordonnées polaires, et la coordonnée $z$ ne fait qu'ajouter un $1$ sur la diagonale.

$f (x, y, z) = F (r (x, y, z), θ (x, y, z), z)$ , donc

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial θ} \frac{\partial θ}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = cos θ \frac{\partial F}{\partial r} - \frac{sin θ}{r} \frac{\partial F}{\partial θ} :$

les coefficients sont ceux de la première colonne de $J_{2}$ . Contrôle : $F = r^{2} sin 2 θ = 2 r^{2} sin θ cos θ = 2 x y$ , donc $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y$ . La formule donne $cos θ \cdot 2 r sin 2 θ - \frac{s i n θ}{r} \cdot 2 r^{2} cos 2 θ = 2 r (sin 2 θ cos θ - cos 2 θ sin θ) = 2 r sin θ = 2 y$ .

Énoncé

Corrigé