Dérivées de réciproques

• Avec $\mathrm{th}=\frac{\mathrm{sh}}{\mathrm{ch}}$ et ${\mathrm{sh}}^{\prime }=\mathrm{ch}$, ${\mathrm{ch}}^{\prime }=\mathrm{sh}$ : ${\mathrm{th}}^{\prime }=\frac{{\mathrm{ch}}^2-{\mathrm{sh}}^2}{{\mathrm{ch}}^2}=1-{\mathrm{th}}^2$. Posons $y=\mathrm{th}x$, soit $x=\mathrm{argth}y$ : $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1-y^2$, qui ne s'annule pas pour $\left|y\right|<1$. Donc

$${\mathrm{argth}}^{\prime }(y)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{1-y^2}(\left|y\right|<1).$$

Contrôle : $(\frac{1}{2}\ln \frac{1+y}{1-y}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}(\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1-y})=\frac{1}{1-y^2}$. (On a utilisé ${\mathrm{ch}}^2-{\mathrm{sh}}^2=1$, établi à la question 3.)

• Avec $y=\cos x$, $x\in [0,\pi ]$ : $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\sin x$ et $\sin x\ge 0$ sur $[0,\pi ]$, donc $\sin x=\sqrt{1-y^2}$ et ${\arccos }^{\prime }(y)=-\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$ pour $\left|y\right|<1$. Ainsi $(\arcsin +\arccos {)}^{\prime }=0$ sur $]-1,1[$ : la fonction est constante sur cet intervalle, égale à sa valeur en $0$, $0+\frac{\pi }{2}$. Par continuité, $\arcsin y+\arccos y=\frac{\pi }{2}$ pour tout $y\in [-1,1]$.
• ${\mathrm{ch}}^{2}x-{\mathrm{sh}}^{2}x=\frac{1}{4}[({\mathrm{e}}^{2x}+2+{\mathrm{e}}^{-2x})-({\mathrm{e}}^{2x}-2+{\mathrm{e}}^{-2x})]=1$. Avec $y=\mathrm{sh}x$ : $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\mathrm{ch}x$, et $\mathrm{ch}x>0$, donc $\mathrm{ch}x=\sqrt{1+{\mathrm{sh}}^{2}x}=\sqrt{1+y^2}$, jamais nul. D'où ${\mathrm{argsh}}^{\prime }(y)=\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ sur $\mathbb{R}$. Contrôle :

$$\left(\ln \right(y+\sqrt{y^2+1}){)}^{\prime }=\frac{1+\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}}{y+\sqrt{y^2+1}}=\frac{\frac{\sqrt{y^2+1}+y}{\sqrt{y^2+1}}}{y+\sqrt{y^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}.$$