Dérivées partielles et règle de la chaîne

Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantes, et vérifier le théorème de Schwarz :

$f_{1} (x, y) = e^{- x} cos (2 y), f_{2} (x, y) = ln (1 + x^{2} + y^{4}), f_{3} (x, y) = arctan \frac{y}{x} (x > 0) .$

Calculer $\frac{\partial ^{2} f _{3}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f _{3}}{\partial y ^{2}}$ .

Soit $f$ une fonction de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ et $g (t) = f (t^{2}, 3 t - 1)$ . Exprimer $g^{'} (t)$ à l'aide des dérivées partielles de $f$ . Contrôler le résultat avec $f (x, y) = x^{2} y$ , en calculant $g$ explicitement.
Calculer de même la dérivée de $t \mapsto f_{3} (cos t, sin t)$ pour $t \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ , par la règle de la chaîne, puis directement. Interpréter.

$f_{1} = e^{- x} cos 2 y$ . $\frac{\partial f _{1}}{\partial x} = - e^{- x} cos 2 y$ , $\frac{\partial f _{1}}{\partial y} = - 2 e^{- x} sin 2 y$ , $\frac{\partial ^{2} f _{1}}{\partial x ^{2}} = e^{- x} cos 2 y$ , $\frac{\partial ^{2} f _{1}}{\partial y ^{2}} = - 4 e^{- x} cos 2 y$ et $\frac{\partial ^{2} f _{1}}{\partial y \partial x} = 2 e^{- x} sin 2 y = \frac{\partial ^{2} f _{1}}{\partial x \partial y}$ .

$f_{2} = ln (1 + x^{2} + y^{4})$ . Avec $D = 1 + x^{2} + y^{4}$ : $\frac{\partial f _{2}}{\partial x} = \frac{2 x}{D}$ , $\frac{\partial f _{2}}{\partial y} = \frac{4 y ^{3}}{D}$ ,

$\frac{\partial ^{2} f _{2}}{\partial x ^{2}} = \frac{2 ( 1 - x ^{2} + y ^{4} )}{D ^{2}}, \frac{\partial ^{2} f _{2}}{\partial y ^{2}} = \frac{4 y ^{2} ( 3 + 3 x ^{2} - y ^{4} )}{D ^{2}}, \frac{\partial ^{2} f _{2}}{\partial y \partial x} = \frac{\partial ^{2} f _{2}}{\partial x \partial y} = - \frac{8 x y ^{3}}{D ^{2}} .$

$f_{3} = arctan \frac{y}{x}$ . Avec $(arctan u)^{'} = \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$ : $\frac{\partial f _{3}}{\partial x} = \frac{- y / x ^{2}}{1 + y ^{2} / x ^{2}} = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}}$ et $\frac{\partial f _{3}}{\partial y} = \frac{1/ x}{1 + y ^{2} / x ^{2}} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}$ . Puis

$\frac{\partial ^{2} f _{3}}{\partial x ^{2}} = \frac{2 x y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}, \frac{\partial ^{2} f _{3}}{\partial y ^{2}} = \frac{- 2 x y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}, \frac{\partial ^{2} f _{3}}{\partial y \partial x} = \frac{\partial ^{2} f _{3}}{\partial x \partial y} = \frac{y ^{2} - x ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} .$

La somme $\frac{\partial ^{2} f _{3}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f _{3}}{\partial y ^{2}}$ est nulle : $f_{3}$ (qui n'est autre que l'angle polaire $θ$ ) est une fonction harmonique, comme le sont les potentiels en électrostatique ou les températures stationnaires.

Par la règle de la chaîne avec $x (t) = t^{2}$ et $y (t) = 3 t - 1$ :

$g^{'} (t) = 2 t \frac{\partial f}{\partial x} (t^{2}, 3 t - 1) + 3 \frac{\partial f}{\partial y} (t^{2}, 3 t - 1) .$

Avec $f = x^{2} y$ : $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}$ , et la formule donne $2 t \cdot 2 t^{2} (3 t - 1) + 3 t^{4} = 15 t^{4} - 4 t^{3}$ . Directement, $g (t) = t^{4} (3 t - 1) = 3 t^{5} - t^{4}$ , et $g^{'} (t) = 15 t^{4} - 4 t^{3}$ .

Avec $x = cos t$ , $y = sin t$ (et $x^{2} + y^{2} = 1$ ) : $\frac{d}{d t} f_{3} (cos t, sin t) = \frac{- s i n t}{1} \cdot (- sin t) + \frac{c o s t}{1} \cdot cos t = 1$ . Directement, $f_{3} (cos t, sin t) = arctan (tan t) = t$ sur $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ , de dérivée $1$ : en parcourant le cercle unité à vitesse $1$ , l'angle polaire croît à vitesse $1$ .

Énoncé

Corrigé