Dériver des composées

On applique la règle de dérivation des composées, de l'extérieur vers l'intérieur.

• Sur $\mathbb{R}$ (car $1+x^2>0$) :

$$(\sin \sqrt{1+x^2}{)}^{\prime }=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\cos \sqrt{1+x^2}=\frac{x\cos \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}.$$

$(\cos ({\mathrm{e}}^x){)}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^x\sin ({\mathrm{e}}^x)$, sur $\mathbb{R}$. Enfin, là où $\cos (x^3)\ne 0$, $(\tan (x^3){)}^{\prime }=3x^2(1+{\tan }^2(x^3))=\frac{3x^2}{{\cos }^2(x^3)}$.

• $(\exp \sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$, sur $]0,+\infty [$ seulement (la racine n'est pas dérivable en $0$). Pour la seconde, $(\frac{x}{x^2+1}{)}^{\prime }=\frac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$, donc, sur $\mathbb{R}$,

$$(\exp \frac{x}{x^2+1}{)}^{\prime }=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}\exp \frac{x}{x^2+1}.$$

• Pour $x\ne \pm 1$, $\ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|=\ln \left|1+x\right|-\ln \left|1-x\right|$, et $(\ln \left|u\right|{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ donne $\frac{1}{1+x}-\frac{-1}{1-x}=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{1-x^2}$. Écrire la fonction comme différence de deux logarithmes évite de dériver un quotient. $(\ln ({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}){)}^{\prime }=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}$, sur $\mathbb{R}$ (c'est la tangente hyperbolique). $(\ln \left|\sin \sqrt{x}\right|{)}^{\prime }=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \sqrt{x}}{\sin \sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\tan \sqrt{x}}$, pour $x>0$ avec $\sin \sqrt{x}\ne 0$, c'est-à-dire $x\ne k^2{\pi }^2$ : trois étages, logarithme, sinus, racine.