Équations du second ordre

$r^{2} - 2 r + 5 = 0$ : $Δ = - 16$ , racines $1 \pm 2 i$ ; homogène : $e^{x} (λ cos 2 x + μ sin 2 x)$ . Le second membre est $e^{x} sin x$ , associé à $1 \pm i$ , qui ne sont pas racines. Posons $f = e^{x} u$ : $f^{''} - 2 f^{'} + 5 f = e^{x} (u^{''} + 4 u)$ , et l'équation devient $u^{''} + 4 u = sin x$ . Avec $u = A cos x + B sin x$ : $3 A cos x + 3 B sin x = sin x$ , soit $A = 0$ , $B = \frac{1}{3}$ . Solutions :

$f (x) = e^{x} (λ cos 2 x + μ sin 2 x + \frac{1}{3} sin x) .$

$r^{2} - 3 r + 2 = (r - 1) (r - 2)$ ; homogène : $λ e^{x} + μ e^{2 x}$ . Pour $2 x$ : $α x + β$ donne $- 3 α + 2 α x + 2 β = 2 x$ , soit $α = 1$ , $β = \frac{3}{2}$ . Pour $e^{2 x}$ , $2$ est racine simple : avec $f = u e^{2 x}$ , l'équation devient $u^{''} + u^{'} = 1$ ( $P^{'} (2) = 1$ , $P (2) = 0$ ), et $u = x$ convient. Solution générale : $f = λ e^{x} + μ e^{2 x} + x e^{2 x} + x + \frac{3}{2}$ . Conditions initiales : $f (0) = λ + μ + \frac{3}{2} = 0$ et $f^{'} (0) = λ + 2 μ + 1 + 1 = 0$ , d'où $μ = - \frac{1}{2}$ , $λ = - 1$ :

$f (x) = - e^{x} + (x - \frac{1}{2}) e^{2 x} + x + \frac{3}{2} .$

$r^{2} + 6 r + 9 = (r + 3)^{2}$ , racine double $- 3$ ; homogène : $(λ + μx) e^{- 3 x}$ . Pour $2 e^{- 3 x}$ ( $- 3$ racine double) : $f = u e^{- 3 x}$ donne $u^{''} = 2$ , $u = x^{2}$ . Pour $50 sin x$ : $A sin x + B cos x$ donne $(8 A - 6 B) sin x + (6 A + 8 B) cos x = 50 sin x$ , d'où $A = 4$ , $B = - 3$ . Solutions :

$f (x) = (λ + μx + x^{2}) e^{- 3 x} + 4 sin x - 3 cos x .$

Avec $g = f^{'}$ : $g^{'} + 2 g = 4 x$ , de solutions $g = 2 x - 1 + λ e^{- 2 x}$ (on cherche $α x + β$ : $α + 2 α x + 2 β = 4 x$ , $α = 2$ , $β = - 1$ ). Puis $f$ est une primitive de $g$ :

$f (x) = x^{2} - x + λ^{'} e^{- 2 x} + μ, λ^{'}, μ \in R .$

Par la méthode générale : $r^{2} + 2 r = r (r + 2)$ , $0$ est racine simple, donc la solution particulière polynomiale est de degré $2$ (et non $1$ ), conformément au théorème 2.34.

Énoncé

Corrigé