Formule de Leibniz

Dans les trois cas, un facteur est un polynôme de degré $1$ ou $2$ : la formule de Leibniz n'a que deux ou trois termes.

• $u=x^2$ ($u^{\prime }=2x$, $u^{\prime \prime }=2$, puis $0$) et $v={\mathrm{e}}^{3x}$ ($v^{(k)}=3^k{\mathrm{e}}^{3x}$) :

$$f^{(n)}=x^2\cdot 3^n{\mathrm{e}}^{3x}+n\cdot 2x\cdot 3^{n-1}{\mathrm{e}}^{3x}+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2\cdot 3^{n-2}{\mathrm{e}}^{3x}=3^{n-2}{\mathrm{e}}^{3x}(9x^2+6nx+n(n-1)).$$

La formule est valable pour tout $n\ge 0$ (pour $n=1$ : $\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{3x}(9x^2+6x)=(3x^2+2x){\mathrm{e}}^{3x}$, ce qu'on vérifie directement).

• $u=x$ et $v=\sin x$, $v^{(k)}=\sin (x+k\frac{\pi }{2})$ :

$$g^{(n)}(x)=x\sin (x+n\frac{\pi }{2})+n\sin (x+(n-1)\frac{\pi }{2})=x\sin (x+n\frac{\pi }{2})-n\cos (x+n\frac{\pi }{2}).$$

Contrôle : $n=1$ donne $x\cos x+\sin x$, qui est bien $(x\sin x{)}^{\prime }$.

• $u=x^2$ et $v=\ln x$, dont les dérivées sont $v^{\prime }=\frac{1}{x}$ puis, par récurrence, $v^{(j)}=\frac{(-1{)}^{j-1}(j-1)!}{x^j}$ pour $j\ge 1$. Pour $n\ge 3$, les trois dérivées de $v$ utilisées sont d'ordre $\ge 1$ :

$$k^{(n)}=x^2\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{x^n}+2nx\frac{(-1{)}^{n-2}(n-2)!}{x^{n-1}}+n(n-1)\frac{(-1{)}^{n-3}(n-3)!}{x^{n-2}}.$$

En mettant $\frac{(-1{)}^{n-1}(n-3)!}{x^{n-2}}$ en facteur, le crochet vaut $(n-1)(n-2)-2n(n-2)+n(n-1)=2$, d'où

$$k^{(n)}(x)=\frac{2(-1{)}^{n-1}(n-3)!}{x^{n-2}}(n\ge 3).$$

Contrôle : $k^{\prime }=2x\ln x+x$, $k^{\prime \prime }=2\ln x+3$, $k^{\prime \prime \prime }=\frac{2}{x}$, ce que donne la formule pour $n=3$.