Raccords et valeurs absolues

• Fonction $g$. Les deux morceaux sont $C^{\infty }$ ; seul $0$ pose question. Continuité : $\ln 1=0$. Dérivées : $g^{\prime }(0^{+})=\frac{1}{1+0}=1$ et $g^{\prime }(0^{-})=1$ : $g$ est dérivable en $0$ et $g^{\prime }$ (qui vaut $\frac{1}{1+x}$ à droite, $1$ à gauche) est continue : $g$ est $C^1$. Dérivées secondes : $-\frac{1}{(1+0{)}^2}=-1$ à droite, $0$ à gauche : $g^{\prime }$ n'est pas dérivable en $0$. Donc $k=1$. Fonction $h$. Les dérivées à droite en $0$ de $x^3$ sont $0$, $0$, $0$ (ordres $0$, $1$, $2$) puis $6$ (ordre $3$) ; à gauche, tout est nul. Les raccords se font jusqu'à l'ordre $2$ : $h$ est $C^2$ (avec $h^{\prime \prime }(x)=6x$ pour $x\ge 0$, $0$ sinon), mais pas $C^3$ : $k=2$.
• $(x-1){\mathrm{e}}^x$ a le signe de $x-1$, donc $f(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x$ si $x\ge 1$, $f(x)=(1-x){\mathrm{e}}^x$ si $x<1$. Comme $((x-1){\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x+(x-1){\mathrm{e}}^x=x{\mathrm{e}}^x$,

$$f^{\prime }(x)=x{\mathrm{e}}^x\text{ si }x>1,f^{\prime }(x)=-x{\mathrm{e}}^x\text{ si }x<1,$$

et $f^{\prime }(1^{+})=\mathrm{e}$, $f^{\prime }(1^{-})=-\mathrm{e}$ : $f$ n'est pas dérivable en $1$, son graphe y a un point anguleux. Variations : sur $]-\infty ,0]$, $f^{\prime }=-x{\mathrm{e}}^x\ge 0$ ; sur $[0,1]$, $f^{\prime }\le 0$ ; sur $[1,+\infty [$, $f^{\prime }\ge 0$. La fonction croît de $0$ (limite en $-\infty$) à $f(0)=1$, décroît jusqu'à $f(1)=0$, puis croît vers $+\infty$.

• $F$ est $C^{\infty }$ sur $]0,1[$ et sur $]1,+\infty [$. Continuité en $1$ : $a+b=\sqrt{1}=1$. Raccord des dérivées : $2a+b=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}$. D'où $a=-\frac{1}{2}$ et $b=\frac{3}{2}$ ; avec ces valeurs, $F$ est dérivable en $1$ et $F^{\prime }$ y est continue : $F$ est $C^1$. Dérivées secondes en $1$ : $2a=-1$ à gauche, $-\frac{1}{4}\cdot 1^{-3/2}=-\frac{1}{4}$ à droite : $F$ n'est pas $C^2$. (Deux paramètres permettent deux raccords, valeur et pente ; pour raccorder aussi la courbure, il en faudrait un troisième.)