Une équation de transport

• On a $\frac{\partial u}{\partial x}=1$, $\frac{\partial u}{\partial y}=-2$, $\frac{\partial v}{\partial x}=1$, $\frac{\partial v}{\partial y}=2$. La règle de la chaîne donne

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial v},\frac{\partial f}{\partial y}=-2\frac{\partial F}{\partial u}+2\frac{\partial F}{\partial v},$$

donc $2\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=4\frac{\partial F}{\partial v}$ : $(E)$ équivaut à $\frac{\partial F}{\partial v}=0$.

• $\frac{\partial F}{\partial v}=0$ signifie que $F$ ne dépend pas de $v$ : $F(u,v)=\phi (u)$, soit $f(x,y)=\phi (x-2y)$. (Le changement de variables est bijectif, $x=\frac{u+v}{2}$, $y=\frac{v-u}{4}$, donc aucune solution n'est perdue.) Réciproquement, $2\frac{\partial }{\partial x}\phi (x-2y)+\frac{\partial }{\partial y}\phi (x-2y)=2{\phi }^{\prime }(x-2y)-2{\phi }^{\prime }(x-2y)=0$.
• Avec $u=x-2y$, $v=y$ : $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}=-2\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{\partial F}{\partial v}$, d'où $2\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial v}$. Même conclusion, avec un calcul plus court : seule compte la variable $u=x-2y$, constante le long des droites $x-2y=\text{cte}$ ; la seconde variable peut être n'importe quelle fonction indépendante de la première.
• $f(x,0)=\phi (x)=\frac{1}{1+x^2}$, donc $f(x,y)=\frac{1}{1+(x-2y{)}^2}$. Au « temps » $y$, le profil est la courbe en cloche initiale translatée de $2y$ vers les $x$ croissants : il se déplace sans se déformer à la vitesse $2$. C'est le modèle le plus simple du transport d'un polluant par un courant de vitesse constante.