Applications linéaires — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Applications linéaires

Calcul vectoriel · niveau 2

Énoncé

Soit $f : R^{3} \to R^{3}$ , $f (x, y, z) = (x - y, y - z, z - x)$ . Montrer que $f$ est linéaire et donner sa matrice. Déterminer $Ker f$ et $Im f$ (une base de chacun, et une équation de l'image), et vérifier la formule des dimensions.
Mêmes questions pour $g (x, y, z) = (x + 2 y, y + z, x + z)$ . Résoudre $g (u) = (1, 0, 0)$ .
Les applications suivantes sont-elles linéaires ? $h_{1} (x, y, z) = (x + 1, y, z)$ ; $h_{2} (x, y, z) = (2 x - z, y^{2})$ ; $h_{3} (x, y) = (x + y, x - y, 3 x)$ . Pour celles qui le sont, déterminer noyau et image.

Les composantes sont de la forme $a x + b y + cz$ : $f$ est linéaire, de matrice $10 - 1 - 1 10 0 - 1 1$ . $f (x, y, z) = 0$ équivaut à $x = y = z$ : $Ker f = Vect ((1, 1, 1))$ . L'image est engendrée par les colonnes $(1, 0, - 1)$ , $(- 1, 1, 0)$ , $(0, - 1, 1)$ , dont la somme est nulle ; les deux premières n'étant pas colinéaires, $Im f = Vect ((1, 0, - 1), (- 1, 1, 0))$ , un plan. Comme $(x - y) + (y - z) + (z - x) = 0$ , tout vecteur image vérifie $X + Y + Z = 0$ : $Im f$ est contenu dans le plan $X + Y + Z = 0$ , et lui est égal (même dimension). Contrôle : $1 + 2 = 3$ .
$g$ est linéaire, de matrice $101210011$ , de déterminant $1 (1 - 0) - 0 + 1 (2 - 0) = 3 \neq = 0$ . Ses colonnes forment une base : $Im g = R^{3}$ , donc $dim Ker g = 0$ , $Ker g = {0}$ , et $g$ est bijective. $g (x, y, z) = (1, 0, 0)$ s'écrit $x + 2 y = 1$ , $y + z = 0$ , $x + z = 0$ : $z = - y$ , $x = y$ , et $3 y = 1$ . Donc $u = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$ .
$h_{1} (0) = (1, 0, 0) \neq = 0$ : $h_{1}$ n'est pas linéaire. $h_{2} (0, 2, 0) = (0, 4)$ alors que $2 h_{2} (0, 1, 0) = (0, 2)$ : $h_{2}$ n'est pas linéaire. $h_{3}$ est linéaire, de $R^{2}$ dans $R^{3}$ ; $h_{3} (x, y) = 0$ impose $x = 0$ (troisième composante), puis $y = 0$ : $Ker h_{3} = {0}$ . L'image est engendrée par $(1, 1, 3)$ et $(1, - 1, 0)$ , non colinéaires : c'est un plan, de vecteur normal $(1, 1, 3) \land (1, - 1, 0) = (3, 3, - 2)$ , d'équation $3 X + 3 Y - 2 Z = 0$ . Contrôle : $0 + 2 = 2$ .