Champ de vecteurs, gradient, laplacien

• Le champ s'annule seulement à l'origine. Sur l'axe des $x$, $\overrightarrow{F}(x,0)=(0,-\frac{x}{2})$ est vertical, vers le bas pour $x>0$ ; sur l'axe des $y$, $\overrightarrow{F}(0,y)=(y,0)$ est horizontal, vers la droite pour $y>0$. Le champ tourne dans le sens des aiguilles d'une montre (figure 3.7). Avec $\phi (x,y)=x^2+2y^2$, $\overrightarrow{\mathrm{grad}}\phi =(2x,4y)$ et $\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}\phi =2xy-2xy=0$ : en tout point, $\overrightarrow{F}$ est orthogonal au gradient de $\phi$, donc tangent à la ligne de niveau de $\phi$ qui passe par ce point (corollaire 3.31). Les lignes de champ sont les ellipses $x^2+2y^2=c$.

Figure : Le champ $\overrightarrow{F}(x,y)=(y,-\frac{x}{2})$ (flèches au quart de leur longueur) et deux de ses lignes de champ, les ellipses $x^2+2y^2=c$.

• Pour $f$ : $\overrightarrow{\mathrm{grad}}f=(2x{y}^3-2{\mathrm{e}}^x,3x^2{y}^2)$ et $\Delta f=(2y^3-2{\mathrm{e}}^x)+6x^{2}y$. Pour $g$ :

$$\overrightarrow{\mathrm{grad}}g=(y{\mathrm{e}}^{xy}\cos z+z^2,x{\mathrm{e}}^{xy}\cos z,-{\mathrm{e}}^{xy}\sin z+2xz),$$

$$\Delta g=y^2{\mathrm{e}}^{xy}\cos z+x^2{\mathrm{e}}^{xy}\cos z+(-{\mathrm{e}}^{xy}\cos z+2x)=(x^2+y^2-1){\mathrm{e}}^{xy}\cos z+2x.$$

• $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{2x}{2r}=\frac{x}{r}$, de même en $y$ et $z$ : $\overrightarrow{\mathrm{grad}}r=\frac{1}{r}(x,y,z)=\frac{1}{r}\overrightarrow{OM}$, vecteur unitaire dirigé vers l'extérieur (la distance à l'origine croît le plus vite en s'éloignant radialement). Puis $\frac{\partial }{\partial x}\frac{1}{r}=-\frac{1}{r^2}\frac{x}{r}=-\frac{x}{r^3}$ et

$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\frac{1}{r}=-\frac{1}{r^3}+\frac{3x}{r^4}\cdot \frac{x}{r}=-\frac{1}{r^3}+\frac{3x^2}{r^5};$$

en sommant sur les trois variables, $\Delta \frac{1}{r}=-\frac{3}{r^3}+\frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}=0$.

• $\overrightarrow{\mathrm{grad}}f=(-2x,1)$, qui vaut $(-2,1)$ en $(1,2)$. La ligne de niveau passant par $(1,2)$ est $y-x^2=1$, la parabole $y=x^2+1$, paramétrée par $(t,t^2+1)$, de vecteur tangent $(1,2t)$, soit $(1,2)$ en $t=1$. Et $(-2,1)\cdot (1,2)=0$. Le taux de croissance maximal est $\Vert (-2,1)\Vert =\sqrt{5}$, atteint dans la direction $\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1)$.