Combinaisons linéaires et plans — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Combinaisons linéaires et plans

Calcul vectoriel · niveau 2

Énoncé

Soient $v_{1} = (1, - 1, 2)$ , $v_{2} = (3, 1, 0)$ et $v_{3} = (5, - 1, 4)$ .

Trouver trois réels $a$ , $b$ , $c$ non tous nuls tels que $a v_{1} + b v_{2} + c v_{3} = 0$ .
Montrer que $(v_{1}, v_{2})$ est libre, et déterminer une équation cartésienne du plan $P = Vect (v_{1}, v_{2})$ en éliminant les paramètres ; contrôler avec le produit vectoriel.
Pour quelle valeur du réel $t$ le vecteur $(t, 2, - 1)$ appartient-il à $P$ ?
Le vecteur $w = (4, 0, 2)$ est-il combinaison linéaire de $v_{1}$ et $v_{2}$ ? Et $w^{'} = (1, 1, 1)$ ?
Que vaut $Vect (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ ?

Le système $a + 3 b + 5 c = 0$ , $- a + b - c = 0$ , $2 a + 4 c = 0$ donne $a = - 2 c$ par la troisième équation, puis $b = a + c = - c$ par la deuxième ; la première, $- 2 c - 3 c + 5 c = 0$ , est alors vérifiée. Avec $c = - 1$ : $2 v_{1} + v_{2} - v_{3} = 0$ , c'est-à-dire $v_{3} = 2 v_{1} + v_{2}$ .
$v_{1}$ et $v_{2}$ ne sont pas colinéaires ( $\frac{3}{1} \neq = \frac{1}{- 1}$ ) : la famille est libre. On écrit $(x, y, z) = a v_{1} + b v_{2}$ : $x = a + 3 b$ , $y = - a + b$ , $z = 2 a$ . Donc $a = \frac{z}{2}$ , $b = y + \frac{z}{2}$ , et $x = \frac{z}{2} + 3 y + \frac{3 z}{2} = 3 y + 2 z$ : $P$ a pour équation $x - 3 y - 2 z = 0$ . Contrôle : $v_{1} \land v_{2} = (0 - 2, 6 - 0, 1 + 3) = (- 2, 6, 4)$ , colinéaire à $(1, - 3, - 2)$ .
$(t, 2, - 1) \in P$ si et seulement si $t - 6 + 2 = 0$ , soit $t = 4$ .
$w$ vérifie l'équation ( $4 - 0 - 4 = 0$ ) : il est dans $P$ , donc combinaison de $v_{1}$ et $v_{2}$ ; en résolvant, $w = v_{1} + v_{2}$ . En revanche $1 - 3 - 2 = - 4 \neq = 0$ : $w^{'}$ n'est pas dans $P$ , il n'est pas combinaison linéaire de $v_{1}$ et $v_{2}$ .
$v_{3} \in P$ (question 1), donc $Vect (v_{1}, v_{2}, v_{3}) = P$ : ajouter un vecteur qui est déjà combinaison des autres n'agrandit pas le sous-espace engendré.