Divergence et rotationnel

$F = (x z, x^{2} y, y z^{2})$ : $div F = z + x^{2} + 2 y z$ et

$rot F = (z^{2} - 0, x - 0, 2 x y - 0) = (z^{2}, x, 2 x y) .$

$G$ : $div G = e^{x} sin y - e^{x} sin y + 1 = 1$ et $rot G = (0 - 0, 0 - 0, e^{x} cos y - e^{x} cos y) = 0$ .

$H$ : $div H = 0 + 0 + 0 = 0$ et $rot H = (- 1 - 1, - 1 - 1, - 1 - 1) = (- 2, - 2, - 2)$ .

Seul $G$ a un rotationnel nul ; défini sur $R^{3}$ , étoilé, il dérive d'un potentiel (théorème 3.36). On intègre : $\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} sin y$ donne $f = e^{x} sin y + φ (y, z)$ ; puis $\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x} cos y + \frac{\partial φ}{\partial y}$ impose $\frac{\partial φ}{\partial y} = 0$ , donc $φ = ψ (z)$ ; enfin $ψ^{'} (z) = z$ . Un potentiel est $f = e^{x} sin y + \frac{z ^{2}}{2}$ . $F$ et $H$ , de rotationnel non nul, ne dérivent d'aucun potentiel (proposition 3.35).
Non : $H$ est de divergence nulle et de rotationnel non nul. Avec $ω = (- 1, - 1, - 1)$ , $ω \land (x, y, z) = (- z + y, - x + z, - y + x) = H$ : $H$ est le champ des vitesses d'un solide qui tourne autour de l'axe dirigé par $(1, 1, 1)$ , et l'on retrouve $rot H = 2 ω$ . Il tourne sans rien créer ni absorber.
Pour $A = (A_{1}, A_{2}, A_{3})$ :

$div (rot A) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial A _{3}}{\partial y} - \frac{\partial A _{2}}{\partial z}) + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial A _{1}}{\partial z} - \frac{\partial A _{3}}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial A _{2}}{\partial x} - \frac{\partial A _{1}}{\partial y}) .$

Les six termes se regroupent par paires de dérivées croisées égales (théorème de Schwarz) : $\frac{\partial ^{2} A _{3}}{\partial x \partial y} - \frac{\partial ^{2} A _{3}}{\partial y \partial x} = 0$ , et de même pour $A_{1}$ et $A_{2}$ . Vérification : $div (z^{2}, x, 2 x y) = 0 + 0 + 0 = 0$ .

Énoncé

Corrigé