Intersections et sommes — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Intersections et sommes

Calcul vectoriel · niveau 2

Énoncé

Soient les plans $P_{1} : x + 2 y - z = 0$ et $P_{2} : 2 x - y + z = 0$ . Trouver un vecteur directeur de la droite $D = P_{1} \cap P_{2}$ , en résolvant le système, puis avec un produit vectoriel.
Soient $w_{1} = (1, 0, 2)$ , $w_{2} = (0, 1, - 1)$ , $w_{3} = (1, 1, 3)$ , $w_{4} = (1, 1, 1)$ , et $P = Vect (w_{1}, w_{2})$ . Déterminer une équation de $P$ , puis

$P \cap Vect (w_{3}), P + Vect (w_{3}), P \cap Vect (w_{4}), P + Vect (w_{4}) .$

La première équation donne $z = x + 2 y$ ; la seconde devient $2 x - y + x + 2 y = 3 x + y = 0$ , soit $y = - 3 x$ , puis $z = - 5 x$ . Donc $D = Vect ((1, - 3, - 5))$ . Avec les normales : $(1, 2, - 1) \land (2, - 1, 1) = (2 - 1, - 2 - 1, - 1 - 4) = (1, - 3, - 5)$ .
$w_{1} \land w_{2} = (0 - 2, 0 + 1, 1 - 0) = (- 2, 1, 1)$ : $P$ a pour équation $- 2 x + y + z = 0$ .

$w_{3}$ : $- 2 + 1 + 3 = 2 \neq = 0$ , donc $w_{3} \in / P$ . Un vecteur $λ w_{3}$ de la droite est dans $P$ seulement si $2 λ = 0$ : $P \cap Vect (w_{3}) = {0}$ . La famille $(w_{1}, w_{2}, w_{3})$ a pour déterminant $(w_{1} \land w_{2}) \cdot w_{3} = 2 \neq = 0$ : c'est une base, et $P + Vect (w_{3}) = R^{3}$ .
$w_{4}$ : $- 2 + 1 + 1 = 0$ , donc $w_{4} \in P$ (en fait $w_{4} = w_{1} + w_{2}$ ). Alors $P \cap Vect (w_{4}) = Vect (w_{4})$ et $P + Vect (w_{4}) = P$ .