La chaleur dans un voile en béton

Un local technique enterré est fermé par un voile en béton armé d'épaisseur $e=0,25$ m et de conductivité $\lambda =2,0$ W/(m$\cdot$K). L'air intérieur est à $19$ °C (face $x=0$), l'extérieur à $-7$ °C (face $x=e$). La densité de flux de chaleur suit la loi de Fourier $\overrightarrow{\phi }=-\lambda \overrightarrow{\mathrm{grad}}T$.

• En régime permanent, le voile ne stocke pas de chaleur : $\mathrm{div}\overrightarrow{\phi }=0$. Loin des bords, $T$ ne dépend que de $x$. Montrer que $T^{\prime \prime }(x)=0$, puis déterminer $T(x)$ à l'aide des températures des deux faces.
• Calculer $\overrightarrow{\mathrm{grad}}T$ et $\overrightarrow{\phi }$ ; commenter le sens de $\overrightarrow{\phi }$. Quelle puissance traverse $12$ m${}^2$ de voile ?
• On pose à l'extérieur $10$ cm d'isolant de conductivité ${\lambda }^{\prime }=0,04$ W/(m$\cdot$K). La résistance thermique d'une couche d'épaisseur $e$ vaut $R=e/\lambda$ (en m${}^2\cdot$K/W), les résistances de couches successives s'additionnent, et la densité de flux vaut $\phi =\Delta T/R_{\mathrm{tot}}$. Calculer $R_{\mathrm{tot}}$, le nouveau flux, le facteur de réduction, et la température à l'interface béton--isolant. Commenter.
• Un pont thermique. Sans isolant, près de la jonction du voile avec une dalle, un modèle local donne $T(x,y)=19-104x+60xy$ ($y$ vertical, en m). Vérifier que $\Delta T=0$. Calculer $\overrightarrow{\phi }$ aux points $M(0,15;0)$ et $N(0,15;0,5)$, et l'angle que fait $\overrightarrow{\phi }(N)$ avec la normale au voile $\overrightarrow{n}=(1;0)$, à l'aide d'un produit scalaire.
• En électricité, la loi d'Ohm locale s'écrit $\overrightarrow{ȷ}=-\sigma \overrightarrow{\mathrm{grad}}V$ et la conservation de la charge, en régime permanent, $\mathrm{div}\overrightarrow{ȷ}=0$. Quelle équation vérifie $V$ si $\sigma$ est constante ? Comparer avec la question 1 et avec l'exercice 3.11 ; qu'en déduire pour les logiciels de calcul ?