Orthogonalité, colinéarité, alignement — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Orthogonalité, colinéarité, alignement

Calcul vectoriel · niveau 2

Énoncé

Pour quelles valeurs du réel $k$ les vecteurs $u = (k, 3, k + 2)$ et $v = (k, - 1, 2)$ sont-ils orthogonaux ?
Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $(3, a, - 6)$ et $(- 1, 2, b)$ soient colinéaires.
Montrer que les points $A (2, - 1, 0)$ , $B (3, 1, 1)$ , $C (5, 5, 3)$ sont alignés, mais pas $A$ , $B$ et $D (0, 1, 2)$ ; calculer l'aire du triangle $A B D$ .
Soient $A (1, 1, 1)$ et $B (2, 3, 3)$ . Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $A M \cdot A B = 0$ . Est-ce un sous-espace vectoriel ?

$u \cdot v = k^{2} - 3 + 2 (k + 2) = k^{2} + 2 k + 1 = (k + 1)^{2}$ : orthogonaux si et seulement si $k = - 1$ .
La première composante impose un éventuel coefficient $(3, a, - 6) = - 3 (- 1, 2, b)$ ; alors $a = - 6$ et $- 6 = - 3 b$ , soit $b = 2$ . On le retrouve avec $(3, a, - 6) \land (- 1, 2, b) = (ab + 12, 6 - 3 b, 6 + a) = 0$ .
$A B = (1, 2, 1)$ , $A C = (3, 6, 3) = 3 A B$ : $A$ , $B$ , $C$ sont alignés. $A D = (- 2, 2, 2)$ et $A B \land A D = (4 - 2, - 2 - 2, 2 + 4) = (2, - 4, 6) \neq = 0$ : $A$ , $B$ , $D$ ne sont pas alignés. L'aire du triangle est $\frac{1}{2} 4 + 16 + 36 = \frac{1}{2} 56 = 14$ .
$A B = (1, 2, 2)$ et $A M \cdot A B = (x - 1) + 2 (y - 1) + 2 (z - 1) = 0$ , soit $x + 2 y + 2 z = 5$ : c'est le plan passant par $A$ de vecteur normal $A B$ . Il ne contient pas l'origine ( $0 \neq = 5$ ) : ce n'est pas un sous-espace vectoriel.