Potentiels scalaires

- $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{F}& =(\frac{\partial (x^2+y)}{\partial y}-\frac{\partial (2xy+z)}{\partial z},\frac{\partial (2xz+y^2)}{\partial z}-\frac{\partial (x^2+y)}{\partial x},\\ & \frac{\partial (2xy+z)}{\partial x}-\frac{\partial (2xz+y^2)}{\partial y})\\ & =(1-1,2x-2x,2y-2y)=\overrightarrow{0}.\end{array}$$

${\mathbb{R}}^3$ est étoilé : $\overrightarrow{F}$ dérive d'un potentiel. On intègre une équation à la fois :

• $\frac{\partial f}{\partial x}=2xz+y^2$ donne $f=x^{2}z+x{y}^2+\phi (y,z)$ ;
• $\frac{\partial f}{\partial y}=2xy+\frac{\partial \phi }{\partial y}=2xy+z$ donne $\frac{\partial \phi }{\partial y}=z$, donc $\phi =yz+\psi (z)$ ;
• $\frac{\partial f}{\partial z}=x^2+y+{\psi }^{\prime }(z)=x^2+y$ donne ${\psi }^{\prime }=0$, $\psi =C$.

Les potentiels sont les $f(x,y,z)=x^{2}z+x{y}^2+yz+C$, $C\in \mathbb{R}$. Contrôle : $\overrightarrow{\mathrm{grad}}f=(2xz+y^2,2xy+z,x^2+y)$.

• $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{G}=(0,0,2-1)=(0,0,1)\ne \overrightarrow{0}$ : $\overrightarrow{G}$ ne dérive d'aucun potentiel. (Directement : $\frac{\partial f}{\partial x}=y$ et $\frac{\partial f}{\partial y}=2x$ donneraient $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=1\ne 2=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$, contre le théorème de Schwarz.)
• $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{F}}_a=(x-x,ay-y,z-az)=(0,(a-1)y,(1-a)z)$, nul partout si et seulement si $a=1$. Pour $a=1$ : $\frac{\partial f}{\partial x}=yz+1$ donne $f=xyz+x+\phi (y,z)$ ; $\frac{\partial f}{\partial y}=xz+\frac{\partial \phi }{\partial y}=xz$ donne $\phi =\psi (z)$ ; $\frac{\partial f}{\partial z}=xy+{\psi }^{\prime }(z)=xy+2z$ donne $\psi =z^2+C$. Les potentiels sont les $f=xyz+x+z^2+C$.