Produit scalaire, produit vectoriel, projections

• $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{4+1+4}=3$ ; $d(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})=\Vert (0,2,4)\Vert =\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ ; $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=2+0-2=0$ : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

$$\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}=(0\cdot 5-1\cdot 2,1\cdot 1-1\cdot 5,1\cdot 2-0\cdot 1)=(-2,-4,2).$$

Avec $\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{w}=6$, $\Vert \overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{2}$ et $\Vert \overrightarrow{w}\Vert =\sqrt{30}$ : $\cos \theta =\frac{6}{\sqrt{60}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\approx 0,775$, soit $\theta \approx 39,2^{\circ }$. (Contrôle : $\Vert \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}\Vert =\sqrt{24}$ et $\Vert \overrightarrow{v}\Vert \Vert \overrightarrow{w}\Vert \sin \theta =\sqrt{60}\sqrt{1-\frac{15}{25}}=\sqrt{24}$.)

• $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=2+2-10=-6$ et $\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2=9$ : ${\mathrm{proj}}_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{w}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{u}=(-\frac{4}{3},-\frac{2}{3},\frac{4}{3})$.
• Avec une normale. $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v}=(1-0,-2-2,0-1)=(1,-4,-1)$, $\Vert \overrightarrow{n}{\Vert }^2=18$, $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{n}=1-8-5=-12$ :

$${\mathrm{proj}}_P\overrightarrow{w}=\overrightarrow{w}+\frac{12}{18}\overrightarrow{n}=(1,2,5)+\frac{2}{3}(1,-4,-1)=(\frac{5}{3},-\frac{2}{3},\frac{13}{3}).$$

Avec la base orthogonale $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ (question 1) : ${\mathrm{proj}}_{\overrightarrow{v}}\overrightarrow{w}=\frac{6}{2}\overrightarrow{v}=(3,0,3)$, et ${\mathrm{proj}}_P\overrightarrow{w}=(-\frac{4}{3},-\frac{2}{3},\frac{4}{3})+(3,0,3)=(\frac{5}{3},-\frac{2}{3},\frac{13}{3})$ : les deux calculs concordent. La distance de $\overrightarrow{w}$ à $P$ est $\frac{|\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{n}|}{\Vert \overrightarrow{n}\Vert }=\frac{12}{\sqrt{18}}=2\sqrt{2}$.