Sous-espaces vectoriels

• $E_1$ est l'ensemble des solutions d'une équation linéaire homogène : c'est un sous-espace, la droite dirigée par $(3,-2)$.

$E_2$ n'en est pas un : $(1,1)$ et $(1,-1)$ sont dans $E_2$, mais pas leur somme $(2,0)$, car $4\ne 0$. ($E_2$ est la réunion des deux droites $y=x$ et $y=-x$.)

$E_3$ n'en est pas un : $(0,0)\notin E_3$ car $0\ne -2$. C'est une droite qui ne passe pas par l'origine.

$E_4$ est stable par multiplication par un scalaire ($(\lambda x)(\lambda y)={\lambda }^{2}xy\ge 0$), mais pas par addition : $(1,0)$ et $(0,-1)$ sont dans $E_4$ (produit nul), leur somme $(1,-1)$ non (produit $-1$). Ce n'est pas un sous-espace : c'est la réunion de deux quarts de plan opposés.

• $F_1$ est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène : c'est un sous-espace. La seconde équation donne $y=2x$, la première $z=x+y=3x$ : $F_1=\mathrm{Vect}((1,2,3))$, une droite.

$F_2$ (un cône) n'en est pas un : $(1,0,1)$ et $(1,0,-1)$ en font partie, mais pas leur somme $(2,0,0)$ car $4\ne 0$.

$F_3$ est la réunion des deux plans $x=z$ et $x=-y$ : $(1,0,1)$ est dans le premier, $(1,-1,0)$ dans le second, mais leur somme $(2,-1,1)$ donne $(2-1)(2-1)=1\ne 0$. Ce n'est pas un sous-espace.

$F_4$ : $(a+b,a-b,2a)=a(1,1,2)+b(1,-1,0)$, donc $F_4=\mathrm{Vect}((1,1,2),(1,-1,0))$, sous-espace (proposition 3.5) ; les deux vecteurs n'étant pas colinéaires, c'est un plan. Un vecteur normal est $(1,1,2)\wedge (1,-1,0)=(2,2,-2)$, d'où l'équation $x+y-z=0$. Contrôle : $(a+b)+(a-b)-2a=0$. On remarque que $F_1\subset F_4$.