Composées

• $u=\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ tend vers $0$ et commence par $x$ : il faut $\ln (1+y)=y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}+o(y^3)$. Avec $u^2=x^2+o(x^3)$ et $u^3=x^3+o(x^3)$ :

$$\ln (1+\sin x)=x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

• $\cos x$ tend vers $1$, pas vers $0$ : on écrit ${\mathrm{e}}^{\cos x}=\mathrm{e}\cdot {\mathrm{e}}^v$ avec $v=\cos x-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$, qui commence par $x^2$. Il suffit de ${\mathrm{e}}^y=1+y+\frac{y^2}{2}+o(y^2)$, et $v^2=\frac{x^4}{4}+o(x^4)$ :

$${\mathrm{e}}^{\cos x}=\mathrm{e}(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^4}{8})+o(x^4)=\mathrm{e}-\frac{\mathrm{e}}{2}{x}^2+\frac{\mathrm{e}}{6}{x}^4+o(x^4).$$

• Avec le même $v$ et $(1+y{)}^{1/2}=1+\frac{y}{2}-\frac{y^2}{8}+o(y^2)$ :

$$\sqrt{\cos x}=1+\frac{1}{2}(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24})-\frac{1}{8}\cdot \frac{x^4}{4}+o(x^4)=1-\frac{x^2}{4}-\frac{x^4}{96}+o(x^4),$$

car $\frac{1}{48}-\frac{1}{32}=-\frac{1}{96}$.