Des limites

• On pose $t=\sqrt{x}$, qui tend vers $0^{+}$. Les termes impairs se compensent dans ${\mathrm{e}}^t+{\mathrm{e}}^{-t}=2\mathrm{ch}t$ : ${\mathrm{e}}^t+{\mathrm{e}}^{-t}-2=t^2+\frac{t^4}{12}+o(t^4)=x+\frac{x^2}{12}+o(x^2)$. Donc

$$\frac{{\mathrm{e}}^{\sqrt{x}}+{\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}-2}{x}-1=\frac{x}{12}+o(x),\text{et la limite vaut }\frac{1}{12}.$$

• $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$ et $x\cos x=x-\frac{x^3}{2}+o(x^3)$, donc le numérateur vaut $\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ : la limite est $\frac{1}{3}$.
• $\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln (1+x)}=\frac{\ln (1+x)-x}{x\ln (1+x)}$. Le numérateur vaut $-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ et le dénominateur $x(x+o(x))=x^2+o(x^2)$ : la limite est $-\frac{1}{2}$. (On peut aussi partir de l'exemple 4.16 : $\frac{1}{\ln (1+x)}=\frac{1}{x}(1+\frac{x}{2}+o(x))=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}+o(1)$.)
• Avec $t=\frac{1}{x}\to 0^{+}$ : $(1+\frac{2}{x}{)}^x=\exp (\frac{\ln (1+2t)}{t})$ et $\frac{\ln (1+2t)}{t}=\frac{2t+o(t)}{t}\to 2$ : la limite est ${\mathrm{e}}^2$.
• Avec $t=\frac{1}{x}$ : $x^2(\cos \frac{1}{x}-1)=\frac{\cos t-1}{t^2}=\frac{-\frac{t^2}{2}+o(t^2)}{t^2}\to -\frac{1}{2}$.