Des valeurs approchées garanties

• On applique Taylor-Lagrange à $f=\exp$, avec $a=0$ et $h=x\in [0,1]$. Toutes les dérivées de $\exp$ valent $\exp$, et sur $[0,1]$, ${\mathrm{e}}^t\le \mathrm{e}\le 3$ : on prend $M_{n+1}=3$, d'où la majoration $\frac{3x^{n+1}}{(n+1)!}$.
• Pour $x=0,2$ : avec $n=4$, $\frac{3\cdot 0,2^5}{5!}=8\cdot 10^{-6}$, c'est trop ; avec $n=5$, $\frac{3\cdot 0,2^6}{6!}\approx 2,7\cdot 10^{-7}$, c'est assez. Donc

$${\mathrm{e}}^{0,2}\approx 1+0,2+0,02+0,0013333+0,0000667+0,0000027=1,2214027,$$

à $2,7\cdot 10^{-7}$ près : ${\mathrm{e}}^{0,2}=1,221403$ à $10^{-6}$ près (la valeur exacte est $1,221402758\dots$).

• Pour $\theta \ge 0$, la fonction $\theta \mapsto \theta -\sin \theta$ a pour dérivée $1-\cos \theta \ge 0$ et s'annule en $0$ : elle est positive. Ensuite, le polynôme de Taylor d'ordre $2$ de $\sin$ en $0$ est $\theta$ (le terme en ${\theta }^2$ est nul), et $\left|{\sin }^{\prime \prime \prime }\right|=\left|\cos \right|\le 1$ : Taylor-Lagrange donne $\left|\sin \theta -\theta \right|\le \frac{{\theta }^3}{6}$. Donc $0\le \theta -\sin \theta \le \frac{{\theta }^3}{6}$, et l'erreur relative vérifie

$$0\le \frac{\theta -\sin \theta }{\theta }\le \frac{{\theta }^2}{6}.$$

Il suffit donc que $\frac{{\theta }^2}{6}\le 0,01$, soit $\theta \le \sqrt{0,06}\approx 0,245$ rad, environ $14^{\circ }$. (La valeur limite exacte, $0,2453$ rad, est à peine plus grande : la majoration est fine.) C'est pourquoi on confond couramment $\sin \theta$ et $\theta$ jusqu'à une dizaine de degrés.