Équivalents, tangentes, asymptote

$e^{x} - cos x - x = (1 + x + \frac{x ^{2}}{2}) - (1 - \frac{x ^{2}}{2}) - x + o (x^{2}) = x^{2} + o (x^{2})$ , donc $e^{x} - cos x - x \sim x^{2}$ . Ensuite $ln (1 + x) - sin x = x - \frac{x ^{2}}{2} - x + o (x^{2}) = - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ , donc $ln (1 + x) - sin x \sim - \frac{x ^{2}}{2}$ . Enfin $x - arctan x = \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{4})$ , donc $x - arctan x \sim \frac{x ^{3}}{3}$ .
Avec $u = x + x^{2} \to 0$ et $ln (1 + y) = y - \frac{y ^{2}}{2} + o (y^{2})$ , $u^{2} = x^{2} + o (x^{2})$ : $f (x) = x + x^{2} - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2}) = x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ . La tangente en $0$ est $y = x$ , et $f (x) - x \sim \frac{x ^{2}}{2} > 0$ : la courbe est au-dessus de sa tangente près de $0$ .
$\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + o (x^{3})$ , et l'on range le produit avec $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ par degrés : degré $0$ : $1$ ; degré $1$ : $- 1 + 1 = 0$ ; degré $2$ : $1 - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ; degré $3$ : $- 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = - \frac{1}{3}$ . Donc

$g (x) = 1 + \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) .$

La tangente en $0$ est horizontale, $y = 1$ , et $g (x) - 1 \sim \frac{x ^{2}}{2} > 0$ : $g$ a un minimum local en $0$ , égal à $1$ . (On le vérifie avec $g^{'} (x) = \frac{x e ^{x}}{( 1 + x ) ^{2}}$ , qui change de signe en $0$ .)

Avec $t = \frac{1}{x}$ et $e^{t} = 1 + t + \frac{t ^{2}}{2} + o (t^{2})$ :

$k (x) = (\frac{1}{t} + 1) (1 + t + \frac{t ^{2}}{2} + o (t^{2})) = \frac{1}{t} + 1 + \frac{t}{2} + 1 + t + o (t) = x + 2 + \frac{3}{2 x} + o (\frac{1}{x}) .$

La droite $y = x + 2$ est asymptote en $+ \infty$ et en $- \infty$ . La courbe est au-dessus en $+ \infty$ ( $\frac{3}{2 x} > 0$ ), en dessous en $- \infty$ .

Énoncé

Corrigé