mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) · Chapitre 4 · Application directe du cours

La rotondité de la Terre en nivellement

Développements limités · niveau 2

Énoncé

Un niveau de chantier est installé en un point $A$ de la surface d'une Terre supposée sphérique, de centre $O$ et de rayon $R = 6371$ km. Sa ligne de visée est horizontale : c'est la tangente à la Terre en $A$ . On note $h (d)$ la hauteur au-dessus du sol (comptée selon la verticale) du point $P$ de la ligne de visée situé à la distance $d = A P$ de l'instrument.

Montrer que $h (d) = R^{2} + d^{2} - R$ .
À l'aide d'un développement limité, montrer que $h (d) \approx \frac{d ^{2}}{2 R}$ lorsque $d$ est petit devant $R$ . Montrer, avec l'inégalité de Taylor-Lagrange, que l'erreur commise est au plus $\frac{d ^{4}}{8 R ^{3}}$ .
Calculer cette correction de sphéricité pour $d = 100$ m, $1$ km et $5$ km.
La réfraction atmosphérique courbe les rayons lumineux vers le sol ; la correction devient $(1 - k) \frac{d ^{2}}{2 R}$ , avec $k \approx 0, 13$ . Reprendre $d = 100$ m et $d = 1$ km. Pourquoi, en nivellement de précision, limite-t-on les portées à une cinquantaine de mètres, et les « équilibre »-t-on (portées avant et arrière égales) ?
Jusqu'à quelle distance porte le regard d'un observateur dont l'œil est à $1, 70$ m au-dessus d'une mer calme ?

Corrigé

La ligne de visée est tangente en $A$ au cercle de centre $O$ : le triangle $O A P$ est rectangle en $A$ . Par Pythagore, $O P = R^{2} + d^{2}$ . Le point du sol à la verticale de $P$ est sur la droite $(O P)$ , à la distance $R$ de $O$ : $h (d) = O P - R = R^{2} + d^{2} - R$ .
On factorise $R$ : $h (d) = R (1 + u - 1)$ avec $u = \frac{d ^{2}}{R ^{2}}$ , petit. Avec $1 + u = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u ^{2}}{8} + o (u^{2})$ :

$h (d) = \frac{d ^{2}}{2 R} - \frac{d ^{4}}{8 R ^{3}} + \dots \approx \frac{d ^{2}}{2 R} .$

Pour l'erreur, $φ (u) = 1 + u$ vérifie $φ^{''} (v) = - \frac{1}{4 ( 1 + v ) ^{3/2}}$ , donc $∣ φ^{''} ∣ \leq \frac{1}{4}$ sur $[0, u]$ . Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ donne $1 + u - (1 + \frac{u}{2}) \leq \frac{1}{4} \cdot \frac{u ^{2}}{2} = \frac{u ^{2}}{8}$ , donc

$h (d) - \frac{d ^{2}}{2 R} \leq R \frac{u ^{2}}{8} = \frac{d ^{4}}{8 R ^{3}} .$

Avec $R = 6371000$ m : pour $d = 100$ m, $\frac{d ^{2}}{2 R} = 0, 78$ mm ; pour $d = 1$ km, $7, 85$ cm ; pour $d = 5$ km, $1, 96$ m. Les erreurs de l'approximation sont au plus $5 \cdot 1 0^{- 14}$ m, $5 \cdot 1 0^{- 10}$ m et $3 \cdot 1 0^{- 7}$ m : la formule $\frac{d ^{2}}{2 R}$ est exacte à toutes les échelles du chantier.
Avec la réfraction : $0, 87 \times 0, 78 \approx 0, 68$ mm à $100$ m, et $6, 8$ cm à $1$ km. À $50$ m, la correction n'est que de $0, 17$ mm, négligeable devant la précision des lectures. De plus, si les portées avant et arrière sont égales, les deux lectures subissent la même correction, qui disparaît dans leur différence : c'est l'intérêt des portées équilibrées.
L'horizon est atteint lorsque la visée issue de l'œil, à la hauteur $H = 1, 70$ m, est tangente à la Terre : $H = h (d) \approx \frac{d ^{2}}{2 R}$ , d'où $d \approx 2 R H = 2 \times 6371000 \times 1, 70 \approx 4650$ m. Le regard porte à moins de $5$ km.

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