mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Le câble suspendu

Développements limités · niveau 2

Énoncé

Un câble homogène suspendu entre deux points à la même hauteur, distants de $L$ , prend la forme d'une chaînette : dans un repère d'origine au point le plus bas, $y (x) = a (ch \frac{x}{a} - 1)$ pour $x \in [- \frac{L}{2}, \frac{L}{2}]$ , où $a > 0$ dépend de la tension du câble et de son poids.

Exprimer la flèche $f$ (l'abaissement au milieu) en fonction de $a$ et $L$ . Montrer que la longueur du câble, $s = \int_{- L /2}^{L /2} 1 + y^{'} (x)^{2} d x$ , vaut $s = 2 a sh \frac{L}{2 a}$ .
Pour un câble tendu ( $a$ grand devant $L$ ), montrer à l'aide de développements limités que $f \approx \frac{L ^{2}}{8 a}$ et $s \approx L + \frac{L ^{3}}{24 a ^{2}}$ , puis que $s \approx L + \frac{8 f ^{2}}{3 L}$ .
Application numérique : $L = 100$ m, $f = 2$ m. Calculer $a$ et la longueur $s$ du câble.
Par une journée chaude ( $Δ T = 30$ K), le câble s'allonge de $Δ s = α s Δ T$ , avec $α = 1, 2 \cdot 1 0^{- 5} K^{- 1}$ . Estimer la nouvelle flèche de deux façons : en différentiant la relation de la question 2, puis directement à partir de $f \approx \frac{3 L ( s - L )}{8}$ . Comparer et commenter.

Corrigé

Au milieu, $y (0) = 0$ , et aux appuis $y (\pm \frac{L}{2}) = a (ch \frac{L}{2 a} - 1)$ : la flèche vaut $f = a (ch \frac{L}{2 a} - 1)$ . Ensuite $y^{'} (x) = sh \frac{x}{a}$ , et $1 + sh^{2} = ch^{2}$ donne $1 + y^{'2} = ch \frac{x}{a}$ , d'où

$s = \int_{- L /2}^{L /2} ch \frac{x}{a} d x = [a sh \frac{x}{a}]_{- L /2}^{L /2} = 2 a sh \frac{L}{2 a} .$

Avec $u = \frac{L}{2 a}$ , petit : $ch u - 1 = \frac{u ^{2}}{2} + o (u^{3})$ et $sh u = u + \frac{u ^{3}}{6} + o (u^{3})$ . Donc

$f \approx a \frac{u ^{2}}{2} = \frac{L ^{2}}{8 a}, s \approx 2 a (u + \frac{u ^{3}}{6}) = L + \frac{L ^{3}}{24 a ^{2}} .$

En reportant $a \approx \frac{L ^{2}}{8 f}$ : $\frac{L ^{3}}{24 a ^{2}} = \frac{L ^{3} \cdot 64 f ^{2}}{24 L ^{4}} = \frac{8 f ^{2}}{3 L}$ , donc $s \approx L + \frac{8 f ^{2}}{3 L}$ : c'est la formule usuelle de la longueur d'un câble peu fléchi, celle de la parabole.

$a \approx \frac{L ^{2}}{8 f} = \frac{10 000}{16} = 625$ m, et $s \approx 100 + \frac{8 \times 4}{300} = 100, 107$ m. (La résolution exacte de $a (ch \frac{50}{a} - 1) = 2$ donne $a = 625, 3$ m et $s = 100, 1066$ m : l'approximation est excellente.) Le câble ne mesure que $10, 7$ cm de plus que la portée.
$Δ s = 1, 2 \cdot 1 0^{- 5} \times 100 \times 30 = 0, 036$ m. En différentiant $s - L \approx \frac{8 f ^{2}}{3 L}$ : $Δ s \approx \frac{16 f}{3 L} Δ f$ , d'où $Δ f \approx \frac{3 L Δ s}{16 f} = \frac{3 \times 100 \times 0 , 036}{32} \approx 0, 34$ m : la flèche passerait à $2, 34$ m. Directement : $s - L$ passe de $0, 107$ m à $0, 143$ m, et $f \approx \frac{3 \times 100 \times 0 , 143}{8} \approx 2, 31$ m, valeur que confirme le calcul exact sur la chaînette. L'estimation linéaire surestime l'effet : $f$ croît comme une racine carrée de $s - L$ , fonction concave, dont la tangente passe au-dessus de la courbe. Elle donne pourtant le bon ordre de grandeur, et le message essentiel : un allongement de $3, 6$ cm abaisse le câble de plus de $30$ cm, soit un facteur $\frac{3 L}{16 f} \approx 9$ . C'est pourquoi on règle la flèche des lignes et des câbles en tenant compte de la température.

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