Les décimales de $\pi$ : la formule de Machin

• Avec $\tan (2b)=\frac{2\tan b}{1-{\tan }^{2}b}$ : $\tan (2a)=\frac{2/5}{1-1/25}=\frac{5}{12}$, puis $\tan (4a)=\frac{5/6}{1-25/144}=\frac{120}{119}$. Avec $\tan (b-c)=\frac{\tan b-\tan c}{1+\tan b\tan c}$ :

$$\tan (4a-\frac{\pi }{4})=\frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}=\frac{1/119}{239/119}=\frac{1}{239}.$$

Numériquement, $a\approx 0,1974$, donc $4a-\frac{\pi }{4}\approx 0,0042$ appartient à $]-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}[$. Sur cet intervalle, $\tan$ est injective et prend la valeur $\frac{1}{239}$ en $\arctan \frac{1}{239}$ : donc $4a-\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{1}{239}$, ce qui est la formule de Machin.

• C'est la somme géométrique de raison $-t^2$ : ${\sum }_{k=0}^n(-t^2{)}^k=\frac{1-(-t^2{)}^{n+1}}{1+t^2}$, d'où $\frac{1}{1+t^2}={\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k{t}^{2k}+\frac{(-1{)}^{n+1}{t}^{2n+2}}{1+t^2}$.
• On intègre de $0$ à $x$, avec ${\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\arctan x$ et ${\int }_0^x{t}^{2k}\mathrm{d}t=\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$.
• Pour $0\le t\le x$, on a $0\le \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\le t^{2n+2}$ ; en intégrant, $0\le R_n(x)\le {\int }_0^x{t}^{2n+2}\mathrm{d}t=\frac{x^{2n+3}}{2n+3}$.
• Pour $x=\frac{1}{5}$, la borne $\frac{(1/5{)}^{2n+3}}{2n+3}$ vaut $5,7\cdot 10^{-8}$ pour $n=3$ et $1,9\cdot 10^{-9}$ pour $n=4$ : on prend $n=4$,

$$\arctan \frac{1}{5}\approx \frac{1}{5}-\frac{1}{375}+\frac{1}{15625}-\frac{1}{546875}+\frac{1}{17578125}=0,1973955617.$$

Pour $x=\frac{1}{239}$, dès $n=1$ la borne vaut $2,6\cdot 10^{-13}$ : $\arctan \frac{1}{239}\approx \frac{1}{239}-\frac{1}{3\cdot 239^3}=0,0041840760$. Alors

$$\pi \approx 16\times 0,1973955617-4\times 0,0041840760=3,14159268,$$

avec une erreur au plus $16\times 1,9\cdot 10^{-9}+4\times 2,6\cdot 10^{-13}$ plus les arrondis, soit moins de $4\cdot 10^{-8}$ : $\pi \approx 3,141593$ à $10^{-6}$ près. Avec $x=1$, la borne $\frac{1}{2n+3}$ ne descend sous $\frac{10^{-6}}{4}$ que pour $n$ de l'ordre de deux millions : la formule de Machin gagne parce qu'elle n'utilise l'arc tangente que près de $0$.