Mac-Laurin pour le cosinus — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Mac-Laurin pour le cosinus

Développements limités · niveau 2

Énoncé

Pour $n \in N$ , on pose $Q_{n} (x) = k = 0 \sum n (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots + (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ .

À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que, pour tout réel $x$ , $∣ cos x - Q_{n} (x) ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{2 n + 2}}{( 2 n + 2 )!}$ .
En déduire que, pour tout $x \in [0, \frac{π}{4}]$ , $∣ cos x - Q_{n} (x) ∣ \leq \frac{1}{( 2 n + 2 )!}$ .
Comment choisir $n$ pour que $Q_{n} (x)$ donne $cos x$ à $1 0^{- 6}$ près pour tout $x \in [0, \frac{π}{4}]$ ?
Donner une valeur approchée de $cos \frac{1}{5}$ à $1 0^{- 7}$ près.

Corrigé

Les dérivées successives de $cos$ sont $\pm sin$ ou $\pm cos$ : elles sont toutes majorées par $1$ en valeur absolue. En $0$ , les dérivées d'ordre impair valent $\pm sin 0 = 0$ : le polynôme de Taylor d'ordre $2 n + 1$ de $cos$ en $0$ est donc exactement $Q_{n}$ . L'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $2 n + 1$ , avec $M_{2 n + 2} = 1$ , donne

$∣ cos x - Q_{n} (x) ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{2 n + 2}}{( 2 n + 2 )!} .$

Pour $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ , on a $∣ x ∣ \leq \frac{π}{4} < 1$ , donc $∣ x ∣^{2 n + 2} \leq 1$ .
Il suffit que $(2 n + 2)! \geq 1 0^{6}$ . Or $8! = 40320$ et $10! = 3628800$ : on prend $2 n + 2 = 10$ , soit $n = 4$ ,

$Q_{4} (x) = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} - \frac{x ^{6}}{720} + \frac{x ^{8}}{40 320} .$

(Avec la majoration plus fine $\frac{( π /4 ) ^{2 n + 2}}{( 2 n + 2 )!}$ , $n = 3$ donnerait $3, 6 \cdot 1 0^{- 6}$ : il faut bien $n = 4$ .)

Pour $x = 0, 2$ , la majoration $\frac{0 , 2 ^{2 n + 2}}{( 2 n + 2 )!}$ vaut $6, 7 \cdot 1 0^{- 5}$ pour $n = 1$ et $\frac{0 , 2 ^{6}}{720} \approx 8, 9 \cdot 1 0^{- 8}$ pour $n = 2$ . Donc

$cos \frac{1}{5} \approx Q_{2} (0, 2) = 1 - 0, 02 + \frac{0 , 001 6}{24} = 0, 98006667,$

à $1 0^{- 7}$ près. La valeur exacte est $0, 980066578 \dots$ : le cosinus de $0, 2$ radian est obtenu à $1 0^{- 7}$ près avec trois termes.