Quotients

• Première façon. $u=x+x^2$ tend vers $0$ et commence par $x$ : $\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-u^3+o(u^3)$, avec $u^2=x^2+2x^3+o(x^3)$ et $u^3=x^3+o(x^3)$. Donc

$$\frac{1}{1+x+x^2}=1-x-x^2+x^2+2x^3-x^3+o(x^3)=1-x+x^3+o(x^3).$$

Seconde façon. $(1-x)(1+x+x^2)=1-x^3$, donc $\frac{1}{1+x+x^2}=\frac{1-x}{1-x^3}=(1-x)(1+x^3+o(x^3))=1-x+x^3+o(x^3)$. Les deux résultats concordent : le terme en $x^2$ est nul.

• Le dénominateur commence par $x$ : on le développe à l'ordre $3$ et l'on met $x$ en facteur, ${\mathrm{e}}^x-1=x(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+o(x^2))$. Avec $v=\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+o(x^2)$ :

$$\frac{x}{{\mathrm{e}}^x-1}=\frac{1}{1+v}=1-v+v^2+o(x^2)=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{6}+\frac{x^2}{4}+o(x^2)=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}+o(x^2).$$

• $\mathrm{ch}x=1+w$ avec $w=\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^5)$ : $\frac{1}{\mathrm{ch}x}=1-w+w^2+o(x^5)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+o(x^5)$. En multipliant par $\mathrm{sh}x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)$ :

$$\mathrm{th}x=x+(\frac{1}{6}-\frac{1}{2})x^3+(\frac{1}{120}-\frac{1}{12}+\frac{5}{24})x^5+o(x^5)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5).$$

On retrouve le développement de $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$, au signe du terme en $x^3$ près. La fonction étant impaire, le reste est même un $o(x^6)$.