Sommes et produits — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Sommes et produits

Développements limités · niveau 2

Énoncé

Donner le développement limité en $0$ , à l'ordre indiqué, de :

$ch x - cos x$ (ordre $4$ ) ;
$e^{x} cos x$ (ordre $3$ ) ;
$(1 + x) ln (1 + x)$ (ordre $3$ ) ;
$1 + x e^{- x}$ (ordre $2$ ).

Corrigé

On écrit chaque développement du formulaire à l'ordre utile, puis on range par degrés.

$ch x = 1 + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4})$ et $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{24} + o (x^{4})$ , donc

$ch x - cos x = x^{2} + o (x^{4}) .$

Les termes en $x^{4}$ se compensent : la partie régulière se réduit à $x^{2}$ , et $ch x - cos x \sim x^{2}$ .

$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ et $cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{3})$ (la fonction est paire, le terme en $x^{3}$ est nul). Produit tronqué au degré $3$ :

$e^{x} cos x = (1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6}) - \frac{x ^{2}}{2} (1 + x) + o (x^{3}) = 1 + x - \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3}) .$

$(1 + x) (x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} + o (x^{3})) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} + x^{2} - \frac{x ^{3}}{2} + o (x^{3}) = x + \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{6} + o (x^{3})$ .
$1 + x = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + o (x^{2})$ et $e^{- x} = 1 - x + \frac{x ^{2}}{2} + o (x^{2})$ , donc

$1 + x e^{- x} = 1 - x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + o (x^{2}) = 1 - \frac{x}{2} - \frac{x ^{2}}{8} + o (x^{2}) .$