Une fonction prolongée par continuité

• On divise par $x^2$ : il faut le numérateur à l'ordre $4$. Avec $\alpha =\frac{1}{3}$, $(1+y{)}^{1/3}=1+\frac{y}{3}-\frac{y^2}{9}+o(y^2)$ (car $\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}=\frac{\frac{1}{3}\cdot (-\frac{2}{3})}{2}=-\frac{1}{9}$), et $y=3x^2$ :

$$\sqrt[3]{1+3x^2}=1+x^2-x^4+o(x^4),\text{donc}g(x)=\frac{x^2-x^4+o(x^4)}{x^2}=1-x^2+o(x^2).$$

• $g(x)\to 1$ : on prolonge $g$ par continuité en posant $g(0)=1$. Le développement $g(x)=1+0\cdot x+o(x)$ est un ${\mathrm{DL}}_1(0)$ : le prolongement est dérivable en $0$, avec $g^{\prime }(0)=0$. Sa tangente en $0$ est la droite horizontale $y=1$. Enfin $g(x)-1\sim -x^2<0$ : la courbe est en dessous de sa tangente près de $0$, et $g$ a un maximum local en $0$.