Une racine carrée à la main — exercice corrigé de mise à niveau en mathématiques (école d'ingénieur) (chapitre 4)

Une racine carrée à la main

Développements limités · niveau 2

Énoncé

À l'aide de l'inégalité des accroissements finis, majorer l'erreur commise en prenant $10$ comme valeur approchée de $101$ . Est-ce une valeur approchée par défaut ou par excès ?
À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ en $100$ , montrer que $10 + \frac{1}{20}$ est une valeur approchée de $101$ à $\frac{1}{8000}$ près. Est-elle par défaut ou par excès ?
Comparer avec la valeur donnée par une calculatrice. Commenter.

Corrigé

Sur $[100, 101]$ , $f (t) = t$ a pour dérivée $f^{'} (t) = \frac{1}{2 t}$ , comprise entre $0$ et $\frac{1}{2 100} = \frac{1}{20}$ . Par l'inégalité des accroissements finis,

$0 \leq 101 - 10 \leq \frac{1}{20} = 0, 05 :$

$10$ est une valeur approchée de $101$ par défaut, à $0, 05$ près.

Le polynôme de Taylor d'ordre $1$ en $100$ , pour $h = 1$ , vaut $f (100) + f^{'} (100) \cdot 1 = 10 + \frac{1}{20}$ . Sur $[100, 101]$ , $f^{''} (t) = - \frac{1}{4 t ^{3/2}}$ , et $∣ f^{''} (t) ∣ \leq \frac{1}{4 \cdot 10 0 ^{3/2}} = \frac{1}{4000}$ . Taylor-Lagrange donne

$101 - (10 + \frac{1}{20}) \leq \frac{1}{4000} \cdot \frac{1 ^{2}}{2} = \frac{1}{8000} = 1, 25 \cdot 1 0^{- 4} .$

Comme $f^{''} < 0$ , la courbe est en dessous de ses tangentes : $10, 05$ est une valeur approchée par excès. Donc $10, 049875 \leq 101 \leq 10, 05$ .

La calculatrice donne $101 = 10, 0498756 \dots$ : l'erreur de $10, 05$ est de $1, 24 \cdot 1 0^{- 4}$ , presque égale à la majoration. Celle-ci est très fine parce que $f^{''}$ varie peu sur $[100, 101]$ . Un terme de plus a fait passer l'erreur de $5 \cdot 1 0^{- 2}$ à $1 0^{- 4}$ .