Un entier s'écrit avec k chiffres 1 et rien d'autre en base b (par…

La démonstration. Par définition de l'écriture en base $b$, ce nombre vaut

$$\sum _{i=0}^{k-1}{b}^i=\frac{b^k-1}{b-1},$$

somme des termes d'une suite géométrique de raison $b\ne 1$.

La vérification. On ne vérifie pas un cas : on les vérifie tous, ce qui est précisément ce que la machine sait faire.

def repunit(k, b):
    """Valeur de l'entier écrit avec k chiffres 1 en base b."""
    return (b**k - 1) // (b - 1)

for b in range(2, 17):
    for k in range(1, 11):
        assert depuis_base("1" * k, b) == repunit(k, b)

Aucune assertion ne se déclenche : $150$ cas passent.

Contrôle : $k=8$, $b=2$ donne $255=2^8-1$, le plus grand entier sur un octet — c'est exactement la proposition « capacité de $n$ bits » du cours. Et $k=3$, $b=16$ donne $273$.