Dérouler le calcul du développement binaire de

Le déroulé. $0,2\to 0,4$ : bit $0$ ; $0,4\to 0,8$ : bit $0$ ; $0,8\to 1,6$ : bit $1$, reste $0,6$ ; $0,6\to 1,2$ : bit $1$, reste $0,2$ — déjà vu. Donc

$$0,2={\overline{0,001100110011\dots }}^2,$$

périodique de période 0011.

La même période, et l'on pouvait le prévoir. $0,2=2\times 0,1$, et multiplier par $2$ en base deux revient à décaler la virgule d'un rang, exactement comme multiplier par $10$ en base dix. Les chiffres ne changent pas, ils glissent : le développement de $0,1$ était ${\overline{0,000110011\dots }}^2$, celui de $0,2$ est le même amputé de son premier zéro. La période 0011 est donc nécessairement identique.

Contrôle : on retrouve les mêmes bits à la machine.

def developpement_binaire(x, n):
    """Les n premiers bits apres la virgule de x, 0 <= x < 1."""
    assert 0.0 <= x < 1.0, "x doit appartenir a [0, 1["
    bits = ""
    for _ in range(n):
        x = x * 2
        if x >= 1:
            bits, x = bits + "1", x - 1
        else:
            bits = bits + "0"
    return bits

>>> developpement_binaire(0.1, 12)
'000110011001'
>>> developpement_binaire(0.2, 12)
'001100110011'

Le second est bien le premier décalé d'un rang.