Hors programme. À l'aide du module struct , afficher les 64 bits qui…

import struct


def bits64(x):
    """Les 64 bits IEEE-754 de x : 1 signe, 11 exposant, 52 mantisse.

    Precondition : x est un flottant. struct.pack le convertit en 8
    octets ('>d'), unpack les relit comme un entier ('>Q') que l'on
    affiche en binaire sur 64 rangs.
    """
    (n,) = struct.unpack(">Q", struct.pack(">d", x))
    b = format(n, "064b")
    return b[0], b[1:12], b[12:]

>>> bits64(1.0)
('0', '01111111111', '0000...0000')
>>> bits64(0.5)
('0', '01111111110', '0000...0000')
>>> bits64(0.1)
('0', '01111111011', '100110011001...10011010')

L'exposant est décalé. On lit ${\overline{01111111111}}^2=1023$ pour $1,0$ : la norme stocke $e+1023$ pour pouvoir coder des exposants négatifs sans bit de signe supplémentaire. Donc $1,0$ a l'exposant $0$, $0,5$ l'exposant $-1$ ($1022-1023$), et $0,1$ l'exposant $-4$ ($1019-1023$).

La mantisse de $0,1$, c'est le cours. On y lit 1001100110011…, soit le motif 0011 répété — décalé, parce que le premier $1$ significatif a été amené juste avant la virgule (c'est la normalisation, et ce $1$ n'est même pas stocké : il est implicite). Et l'on voit la fin de l'histoire : les $52$ bits s'achèvent par …10011010, un 10 au lieu du 0011 attendu. C'est l'arrondi, visible à l'oeil nu — la cause de tout ce chapitre.

Prolongement : $53$ bits de mantisse (52 stockés + 1 implicite) donnent ${\log }_{10}(2^{53})\approx 15,95$ chiffres décimaux significatifs. C'est l'ordre de grandeur annoncé par le cours, et il se calcule.