Écrire coordonnees polaires(x, y) renvoyant le couple

import math

def coordonnees_polaires(x, y):
    """Couple (r, theta) des coordonnees polaires du point (x, y).

    Precondition  : (x, y) est different de (0, 0).
    Postcondition : r >= 0, et x == r*cos(theta), y == r*sin(theta).
                    theta appartient a l'intervalle ]-pi, pi].
    """
    assert not (x == 0 and y == 0), "l'origine n'a pas d'angle polaire"
    r = math.sqrt(x * x + y * y)
    theta = math.atan2(y, x)
    return r, theta

La précondition demandée. Il faut $(x,y)\ne (0,0)$. À l'origine, $r=0$ et tout angle convient : $\theta$ n'est pas défini. Ce n'est pas une difficulté technique mais une propriété du problème — le point n'a pas de direction. Remarquable : math.atan2(0, 0) ne lève aucune erreur, il rend $0.0$. La bibliothèque a choisi une convention ; notre fonction, elle, refuse de mentir.

Pourquoi atan2(y, x) et non atan(y / x). Deux raisons, l'une fatale, l'autre sournoise : atan(y / x) divise par zéro lorsque $x=0$, et surtout il ne distingue pas $(1,1)$ de $(-1,-1)$, dont le quotient est le même. atan2 reçoit les deux coordonnées séparément et rend le bon angle dans les quatre quadrants. L'ordre des arguments est l'ordonnée d'abord — une des questions de la méthode « lire une documentation » du chapitre 3.

Vérification.

r, th = coordonnees_polaires(1, 1)
assert abs(r - math.sqrt(2)) < 1e-12 and abs(th - math.pi / 4) < 1e-12

r, th = coordonnees_polaires(-1, 0)
assert abs(r - 1) < 1e-12 and abs(th - math.pi) < 1e-12

for _ in range(2000):                      # le point se reconstruit-il ?
    x, y = random.uniform(-10, 10), random.uniform(-10, 10)
    r, th = coordonnees_polaires(x, y)
    assert abs(r * math.cos(th) - x) < 1e-9 and abs(r * math.sin(th) - y) < 1e-9

Les $2000$ points se reconstruisent à $10^{-9}$ près, et l'origine est bien refusée. Les comparaisons se font avec une tolérance, jamais par == — chapitre 2.