Poynting moyen en notation complexe — exercice corrigé d'ondes électromagnétiques (MP) (chapitre 1)

Poynting moyen en notation complexe

Ondes électromagnétiques planes dans le vide · niveau 2

Énoncé

Pour $E = E_{0} e^{j (ω t - k x)} e_{y}$ ( $E_{0}$ réel, $k = ω / c$ ), calculer $B$ , puis $⟨ Π ⟩ = \frac{1}{2 μ _{0}} Re (E \land B^{*})$ et retrouver $I = \frac{E _{0}^{2}}{2 μ _{0} c}$ . Pourquoi ne peut-on pas calculer $Π$ comme $Re (E \land B) / μ_{0}$ ?

Corrigé

Maxwell--Faraday en notation complexe donne $B = \frac{k \land E}{ω} = \frac{k}{ω} E_{0} e^{j (ω t - k x)} (e_{x} \land e_{y}) = \frac{E _{0}}{c} e^{j (ω t - k x)} e_{z}$ . Alors

$E \land B^{*} = E_{0} \frac{E _{0}}{c} e^{j (ω t - k x)} e^{- j (ω t - k x)} (e_{y} \land e_{z}) = \frac{E _{0}^{2}}{c} e_{x}, ⟨ Π ⟩ = \frac{E _{0}^{2}}{2 μ _{0} c} e_{x} .$

On retrouve $I = \frac{E _{0}^{2}}{2 μ _{0} c}$ , sans avoir moyenné de $cos^{2}$ : le facteur $\frac{1}{2}$ et le conjugué font ce travail. Le vecteur de Poynting est quadratique : la partie réelle d'un produit n'est pas le produit des parties réelles, et $Re (E \land B)$ oscillerait en $cos (2 (ω t - k x))$ , de moyenne nulle. On repasse donc aux champs réels pour une grandeur instantanée, et l'on n'utilise la formule complexe que pour une moyenne.