Relation de dispersion du vide par substitution

Ondes électromagnétiques planes dans le vide · niveau 1 (application)

Énoncé

Montrer qu'injecter $E = E_{0} e^{j (ω t - k \cdot r)}$ dans l'équation de d'Alembert impose $k = ω / c$ , quelle que soit la direction de $k$ . En déduire la vitesse de phase, puis la longueur d'onde dans le vide d'un four à micro-ondes ( $f = 2.45 G H z$ ).

Corrigé

Avec $k \cdot r = k_{x} x + k_{y} y + k_{z} z$ , chaque dérivation par rapport à $x$ multiplie par $- j k_{x}$ , d'où $\frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} \to - k_{x}^{2}$ et, en sommant, $Δ \to - (k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2}) = - k^{2}$ ; de même $\frac{\partial ^{2}}{\partial t ^{2}} \to (j ω)^{2} = - ω^{2}$ . L'équation de d'Alembert devient

$(- k^{2} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}}) E = 0 .$

Pour une onde non nulle, $k^{2} = ω^{2} / c^{2}$ , soit $k = ω / c$ : seule la norme de $k$ intervient, la direction est libre. La vitesse de phase $v_{φ} = ω / k = c$ ne dépend pas de $ω$ : le vide n'est pas dispersif. Pour le four, $λ = c / f = \frac{3 , 00 \times 1 0 ^{8}}{2 , 45 \times 1 0 ^{9}} \approx 12.2 c m$ .