Satisfaire d'Alembert ne suffit pas : trier des champs candidats

La stratégie. L'équation de d'Alembert est une conséquence des équations de Maxwell, obtenue en dérivant deux fois : elle a perdu de l'information. On passe donc chaque champ aux quatre équations, une par une. Pour un champ qui ne dépend que de $x$ et de $t$, $\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial z}=0$, d'où $$\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x},\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial E_z}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_y+\frac{\partial E_y}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_z.$$

1) Pas d'onde longitudinale. D'Alembert : $\frac{{\partial }^2{E}_x}{\partial x^2}=-k^2{E}_0\cos (\omega t-kx)$ et $\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{E}_x}{\partial t^2}=-\frac{{\omega }^2}{c^2}{E}_0\cos (\omega t-kx)$ : égaux puisque $k=\omega /c$. Maxwell-Gauss : $\mathrm{div}{\overrightarrow{E}}_a=\frac{\partial E_x}{\partial x}=k{E}_0\sin (\omega t-kx)$, qui n'est pas identiquement nul. Or, dans le vide, $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=\rho /{\epsilon }_0=0$ : le champ est exclu. Il faudrait une densité de charge $\rho ={\epsilon }_{0}k{E}_0\sin (\omega t-kx)$. En général, pour une onde plane selon ${\overrightarrow{e}}_x$ : Maxwell-Gauss donne $\frac{\partial E_x}{\partial x}=0$, et la composante selon ${\overrightarrow{e}}_x$ de Maxwell-Ampère donne ${\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial E_x}{\partial t}=\frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z}=0$. La composante $E_x$ est donc uniforme et constante : elle ne propage rien. Il n'existe pas d'onde électromagnétique longitudinale dans le vide.

2) $\overrightarrow{B}$ ne peut pas être parallèle à $\overrightarrow{E}$. Les divergences sont nulles ($E_y$ et $B_y$ ne dépendent pas de $y$), et chaque composante vérifie d'Alembert comme à la question 1. Maxwell-Faraday : d'une part $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{E}}_b=\frac{\partial E_y}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_z=k{E}_0\sin (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_z$ ; d'autre part $-\frac{\partial {\overrightarrow{B}}_b}{\partial t}=\frac{\omega E_0}{c}\sin (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_y$. Ces deux vecteurs, non nuls, sont portés par des directions différentes : l'équation est violée, le couple est exclu. Faraday dit plus : une variation de $E_y$ le long de $x$ ne peut créer qu'un champ magnétique selon ${\overrightarrow{e}}_z$, perpendiculaire à $\overrightarrow{E}$ et à la direction de propagation.

3) Faraday donne $\overrightarrow{B}$, Ampère donne $k$. a) $\mathrm{div}{\overrightarrow{E}}_c=\frac{\partial E_y}{\partial y}=0$ quel que soit $k$ : Gauss ne dit rien du nombre d'onde. b) $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{E}}_c=k{E}_0\sin (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_z=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$. Donc $\frac{\partial B_x}{\partial t}=\frac{\partial B_y}{\partial t}=0$ et $\frac{\partial B_z}{\partial t}=-k{E}_0\sin (\omega t-kx)$, qui s'intègre en $${\overrightarrow{B}}_c=\frac{k}{\omega }{E}_0\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_z,$$ à un champ indépendant du temps près, que l'on écarte (il ne fait pas partie de l'onde, voir la question 4). Maxwell-flux est satisfaite : $\mathrm{div}{\overrightarrow{B}}_c=\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$. c) Maxwell-Ampère : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{B}}_c=-\frac{\partial B_z}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_y=-\frac{k^2}{\omega }{E}_0\sin (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_y$, et ${\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial {\overrightarrow{E}}_c}{\partial t}=-{\mu }_0{\epsilon }_0\omega E_0\sin (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_y$. L'égalité pour tous $x$ et $t$ impose $$\frac{k^2}{\omega }={\mu }_0{\epsilon }_0\omega ⟺k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}⟺k=\frac{\omega }{c}(k>0).$$ C'est la relation de dispersion du vide, obtenue par substitution, et elle vient de Maxwell-Ampère. Alors ${\overrightarrow{B}}_c=\frac{E_0}{c}\cos (\omega t-kx){\overrightarrow{e}}_z$ : $E=cB$, les champs sont en phase, le trièdre $(\overrightarrow{E},\overrightarrow{B},{\overrightarrow{e}}_x)$ est direct. d) Sans le terme de Maxwell, Ampère se réduit à $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$, d'où $\frac{k^2}{\omega }{E}_0=0$, soit $k=0$ : le champ $E_0\cos (\omega t){\overrightarrow{e}}_y$ oscille en phase en tout point, rien ne se propage. C'est, vu sur une onde sinusoïdale, l'équation $\Delta \overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ obtenue au TD sur les équations de Maxwell en supprimant le courant de déplacement : sans le terme de Maxwell, le champ suit ses sources instantanément.

4) La forme est libre, la structure ne l'est pas. Avec $f^{\prime }$ la dérivée de $f$ par rapport à $\tau =t-x/c$ : $\frac{\partial f}{\partial t}=f^{\prime }$ et $\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{c}{f}^{\prime }$. Les divergences sont nulles. Faraday : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{E}}_d=\frac{\partial E_y}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_z=-\frac{1}{c}{f}^{\prime }{\overrightarrow{e}}_z$ et $-\frac{\partial {\overrightarrow{B}}_d}{\partial t}=-\frac{1}{c}{f}^{\prime }{\overrightarrow{e}}_z$ : égaux. Ampère : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}{\overrightarrow{B}}_d=-\frac{\partial B_z}{\partial x}{\overrightarrow{e}}_y=\frac{1}{c^2}{f}^{\prime }{\overrightarrow{e}}_y$ et ${\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial {\overrightarrow{E}}_d}{\partial t}=\frac{1}{c^2}{f}^{\prime }{\overrightarrow{e}}_y$ : égaux. Tout profil convient, pourvu que $\overrightarrow{B}$ soit lié à $\overrightarrow{E}$ par la relation de structure. Le champ uniforme vérifie seul les quatre équations (toutes ses dérivées sont nulles) ; par linéarité, la somme ${\overrightarrow{E}}_d+{\overrightarrow{E}}_1$ les vérifie aussi. Les équations de Maxwell n'interdisent donc pas un champ statique uniforme selon la direction de propagation. Mais ce champ ne se propage pas : créé par d'autres sources (des charges lointaines), il se superpose à l'onde sans interagir avec elle. Quand le cours trouve $E_x$ uniforme et constant et « le prend nul », il fait un choix : il isole la partie propagative, qui seule constitue l'onde.

5) Trois lignes en notation complexe. Gauss : $-\mathrm{j}\overrightarrow{k}\cdot \underline{\overrightarrow{E}}=0$, donc $\overrightarrow{k}\cdot \underline{{\overrightarrow{E}}_0}=0$ : $\overrightarrow{E}$ est transverse. Faraday : $-\mathrm{j}\overrightarrow{k}\wedge \underline{\overrightarrow{E}}=-\mathrm{j}\omega \underline{\overrightarrow{B}}$, donc $\underline{\overrightarrow{B}}=\frac{\overrightarrow{k}\wedge \underline{\overrightarrow{E}}}{\omega }$, et Maxwell-flux en découle : $\overrightarrow{k}\cdot \underline{\overrightarrow{B}}=0$. Ampère : $-\mathrm{j}\overrightarrow{k}\wedge \underline{\overrightarrow{B}}=\mathrm{j}\omega {\mu }_0{\epsilon }_0\underline{\overrightarrow{E}}$. On y reporte $\underline{\overrightarrow{B}}$ et l'on développe le double produit vectoriel, $\overrightarrow{k}\wedge (\overrightarrow{k}\wedge \underline{\overrightarrow{E}})=\overrightarrow{k}(\overrightarrow{k}\cdot \underline{\overrightarrow{E}})-k^2\underline{\overrightarrow{E}}=-k^2\underline{\overrightarrow{E}}$ grâce à Gauss : $$-\frac{\mathrm{j}}{\omega }\left(-k^2\underline{\overrightarrow{E}}\right)=\mathrm{j}\frac{\omega }{c^2}\underline{\overrightarrow{E}}⟹k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}.$$ Le résultat vaut pour toute direction de $\overrightarrow{k}$ (on s'en sert à l'exercice 3).

Le bilan. L'équation de d'Alembert ne retient que la dernière ligne : un champ qui la vérifie peut être longitudinal (question 1) ou mal accompagné (question 2).

Ce que l'exercice installe. Vérifier l'équation de d'Alembert est nécessaire, pas suffisant : on valide un champ en le passant aux quatre équations de Maxwell. Chacune a son rôle : Gauss donne la transversalité, Faraday donne $\overrightarrow{B}$, Ampère donne la dispersion. Et la forme de l'onde est libre, sa structure ne l'est pas ; les constantes d'intégration (champs statiques) s'écartent par un choix physique, pas par les équations.