Effet de peau : sous-marins, papier d'aluminium et cave à vin

La stratégie. On justifie l'approximation par un ordre de grandeur ; elle mène à une équation de diffusion, que l'on résout en cherchant une onde harmonique de vecteur d'onde complexe. Les trois situations sont trois lectures de ${\mathrm{e}}^{-z/\delta }$, avec $\delta \propto 1/\sqrt{f}$ ; la cave à vin est la même équation, pour une autre grandeur.

1a) Le courant de déplacement. Pour un champ d'amplitude $E$ et de pulsation $\omega$, le courant de conduction vaut $\gamma E$ et le courant de déplacement ${\epsilon }_0\left|\frac{\partial E}{\partial t}\right|\sim {\epsilon }_0\omega E$. Leur rapport est $\frac{{\epsilon }_0\omega }{\gamma }$, et l'on néglige le courant de déplacement tant que $f\ll \frac{\gamma }{2\pi {\epsilon }_0}$ : $$\text{mer : }\frac{4}{2\pi \times 8,85\times 10^{-12}}\approx 7\times 10^{10}\mathrm{Hz},\text{cuivre : }\frac{6,0\times 10^7}{2\pi \times 8,85\times 10^{-12}}\approx 1\times 10^{18}\mathrm{Hz}.$$ Toutes les fréquences de l'exercice sont très en dessous. Deux nuances, sans effet ici : l'eau a une permittivité relative proche de $80$, ce qui abaisse la limite de la mer vers $1\mathrm{GHz}$ ; pour le cuivre, c'est la loi d'Ohm à $\gamma$ réel elle-même qui cesse de valoir dans l'infrarouge (vers $10^{13}\mathrm{Hz}$), quand la période devient comparable à la durée entre deux collisions d'un électron.

1b) L'équation de diffusion. On prend le rotationnel de Maxwell-Faraday, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$ : $$\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{E})=\overrightarrow{\mathrm{grad}}(\mathrm{div}\overrightarrow{E})-\Delta \overrightarrow{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}\right).$$ Le conducteur est localement neutre, donc $\mathrm{div}\overrightarrow{E}=0$ ; Maxwell-Ampère sans courant de déplacement, avec la loi d'Ohm, s'écrit $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\gamma \overrightarrow{E}$. Il reste $\Delta \overrightarrow{E}={\mu }_0\gamma \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$, soit, pour $\overrightarrow{E}=E(z,t){\overrightarrow{e}}_x$ : $$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial z^2}={\mu }_0\gamma \frac{\partial E}{\partial t}.$$ C'est une équation de diffusion, de coefficient $D_{\mathrm{em}}=\frac{1}{{\mu }_0\gamma }$. La substitution de $\underline{E}=E_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(\omega t-\underline{k}z)}$ ($\frac{\partial }{\partial t}\to \mathrm{j}\omega$, $\frac{\partial }{\partial z}\to -\mathrm{j}\underline{k}$) donne $-{\underline{k}}^2=\mathrm{j}{\mu }_0\gamma \omega$, et la racine amortie vers les $z>0$ est $$\underline{k}=\sqrt{\frac{{\mu }_0\gamma \omega }{2}}(1-\mathrm{j})=\frac{1-\mathrm{j}}{\delta },\delta =\sqrt{\frac{2}{{\mu }_0\gamma \omega }}=\frac{1}{\sqrt{\pi {\mu }_0\gamma f}}.$$ Le champ réel vaut $E(z,t)=E_0{\mathrm{e}}^{-z/\delta }\cos (\omega t-z/\delta )$ : une onde qui se propage et s'amortit, son amplitude étant divisée par $\mathrm{e}$ sur chaque épaisseur $\delta$. Elle cède son énergie au conducteur par effet Joule : c'est une onde absorbée. Homogénéité : ${\mu }_0\gamma \omega$ est en ${\mathrm{m}}^{-2}$, puisque $\mathrm{H}\cdot \mathrm{S}=\mathrm{s}$. Cas limite : $\gamma \to \infty$ donne $\delta \to 0$ : le champ ne pénètre plus dans le métal, qui renvoie toute l'onde.

2) Le sous-marin. Avec $\delta =1/\sqrt{\pi {\mu }_0\gamma f}$ et $\gamma =4\mathrm{S}{\mathrm{m}}^{-1}$ : $$\delta (76\mathrm{Hz})\approx 29\mathrm{m},\delta (20\mathrm{kHz})\approx 1,8\mathrm{m},\delta (1\mathrm{MHz})\approx 25\mathrm{cm}.$$ À $20\mathrm{m}$ en VLF, l'amplitude est multipliée par ${\mathrm{e}}^{-20/1,78}\approx 1,3\times 10^{-5}$ ; à $100\mathrm{m}$ en ELF, par ${\mathrm{e}}^{-100/28,9}\approx 0,03$. En VLF, le sous-marin doit donc rester près de la surface ou laisser traîner une antenne flottante ; en ELF, il reçoit en plongée profonde. À $1\mathrm{MHz}$, l'amplitude perd un facteur $\mathrm{e}$ tous les $25\mathrm{cm}$ : à $10\mathrm{m}$, il en reste ${\mathrm{e}}^{-40}$, rien. Le prix des très basses fréquences est le débit : une porteuse de $76\mathrm{Hz}$ ne transporte qu'un signal de largeur $\Delta f<f$, donc, par $\Delta f\cdot \Delta t\sim 1$, des symboles d'au moins une dizaine de millisecondes ; en pratique, quelques caractères par minute, de quoi transmettre l'ordre de remonter.

3) Le papier d'aluminium. À $1\mathrm{GHz}$, $\delta =\frac{1}{\sqrt{\pi \times 4\pi \times 10^{-7}\times 3,8\times 10^7\times 10^9}}\approx 2,6\mu \mathrm{m}$ : l'épaisseur de $20\mu \mathrm{m}$ vaut près de huit épaisseurs de peau, et l'amplitude y est multipliée par ${\mathrm{e}}^{-20/2,6}\approx 4\times 10^{-4}$, la puissance par le carré, $2\times 10^{-7}$. La réflexion sur la face d'entrée renvoie en plus l'essentiel de l'onde : le téléphone emballé ne capte plus le réseau. Ce qui compte est le rapport $d/\delta$ : à $50\mathrm{Hz}$, $\delta \approx 12\mathrm{mm}$, six cents fois l'épaisseur du papier, et le champ le traverse sans perte appréciable.

4) La cave à vin. L'équation de la chaleur a exactement la forme de l'équation de diffusion de la question 1, avec $D$ à la place de $D_{\mathrm{em}}=1/{\mu }_0\gamma$. On transpose donc la solution : $T(z,t)=T_m+T_0{\mathrm{e}}^{-z/\delta }\cos (\omega t-z/\delta )$ avec $$\delta =\sqrt{\frac{2D}{\omega }}.$$ Cycle annuel : $\omega =\frac{2\pi }{365,25\times 86400\mathrm{s}}\approx 1,99\times 10^{-7}\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, d'où $\delta =\sqrt{\frac{2\times 5\times 10^{-7}}{1,99\times 10^{-7}}}\approx 2,24\mathrm{m}$. Cycle journalier : $\omega$ est $365$ fois plus grand, $\delta$ est $\sqrt{365}\approx 19$ fois plus petit, soit $12\mathrm{cm}$ : quelques décimètres de terre suffisent à effacer l'alternance du jour et de la nuit. À $4\mathrm{m}$, l'amplitude annuelle vaut $T_0{\mathrm{e}}^{-4/2,24}\approx 0,17T_0\approx 1,7\mathrm{K}$, et le retard de phase $z/\delta \approx 1,79\mathrm{rad}$ correspond à un retard $$\Delta t=\frac{z/\delta }{\omega }=\frac{1,79}{2\pi }\times 365,25\mathrm{jours}\approx 104\mathrm{jours}:$$ le maximum de température y arrive vers le début de novembre au lieu de la fin de juillet. L'opposition de phase est atteinte pour $z/\delta =\pi$, soit $z=\pi \delta \approx 7,0\mathrm{m}$ : à cette profondeur, la cave est la plus chaude en hiver et la plus fraîche en été, avec une amplitude réduite à ${\mathrm{e}}^{-\pi }\approx 4\%$ de celle de la surface, soit $\pm 0,4\mathrm{K}$.

Ce que l'exercice installe. L'approximation se justifie par un ordre de grandeur, ${\epsilon }_0\omega /\gamma \ll 1$ ; elle mène à une équation de diffusion et à l'épaisseur de peau $\delta =\sqrt{2/{\mu }_0\gamma \omega }$, qui décroît comme $1/\sqrt{f}$. Les questions pratiques se lisent dans ${\mathrm{e}}^{-z/\delta }$ : communiquer sous la mer impose les très basses fréquences et leur faible débit, un film métallique blinde les hautes fréquences mais pas le $50\mathrm{Hz}$. Et un réflexe : une équation familière se transpose, ici de l'électromagnétisme à la thermique, avec $\delta =\sqrt{2D/\omega }$ dans les deux cas.