Lire une relation de dispersion : dispersion, absorption, coupure

La stratégie. On vérifie d'abord la linéarité, qui seule autorise la décomposition de Fourier ; on substitue ensuite l'onde harmonique en remplaçant chaque dérivée par sa correspondance, et l'on lit la relation obtenue : la partie réelle $k^{\prime }$ dit si la phase se propage et à quelle vitesse, la partie imaginaire $k^{\prime \prime }$ dit si l'amplitude décroît. Le point délicat est de ne pas confondre décroissance et dissipation.

1) La linéarité. Les équations (a), (b) et (c) ne contiennent $s$ et ses dérivées qu'au premier degré, sans terme constant : toute combinaison linéaire de solutions est solution. L'équation (d) contient le produit $s\frac{\partial s}{\partial z}$ : pour $s_1+s_2$, il reste des termes croisés qui n'ont aucune raison de s'annuler ; elle n'est pas linéaire. Or un signal quelconque est une superposition de sinusoïdes (Fourier) ; si l'équation est linéaire, chaque composante évolue pour son propre compte et l'on somme. Il suffit donc de savoir ce que devient une onde harmonique : c'est ce que dit $\underline{k}(\omega )$.

2) Klein-Gordon : coupure, sans absorption. La substitution donne $(-\mathrm{j}\underline{k}{)}^2-\frac{(\mathrm{j}\omega {)}^2}{c^2}=\frac{{\omega }_c^2}{c^2}$, soit $${\underline{k}}^2=\frac{{\omega }^2-{\omega }_c^2}{c^2}.$$ Pour $\omega >{\omega }_c$, $k=\frac{\sqrt{{\omega }^2-{\omega }_c^2}}{c}$ est réel : l'onde se propage sans atténuation, avec $v_{\phi }=\frac{\omega }{k}=\frac{c}{\sqrt{1-{\omega }_c^2/{\omega }^2}}$, qui dépend de $\omega$ : le milieu est dispersif, et non absorbant. Pour $\omega <{\omega }_c$, ${\underline{k}}^2<0$ et l'on choisit la racine qui donne une amplitude bornée vers les $z>0$, $\underline{k}=-\mathrm{j}/\delta$ avec $\delta =\frac{c}{\sqrt{{\omega }_c^2-{\omega }^2}}$. Le signal réel vaut $$s(z,t)=s_0{\mathrm{e}}^{-z/\delta }\cos \omega t.$$ Tous les points oscillent en phase ; seule l'amplitude décroît avec $z$. Il n'y a aucune propagation de phase : c'est le troisième comportement de la figure, l'onde évanescente. Cas limite : à $\omega ={\omega }_c$, $k=0$, c'est la coupure ; pour $\omega \gg {\omega }_c$, $k\approx \omega /c$ et l'on retrouve d'Alembert. Le plasma dilué obéit exactement à cette relation de dispersion, avec ${\omega }_c={\omega }_p$ (on l'établit dans les exercices résolus du chapitre, à partir de la conductivité de l'exercice 2) : tout ce qu'on vient d'établir s'y transpose sans un calcul de plus, et les exercices 3, 4, 6 et 7 s'en servent.

3) Diffusion : dispersif et absorbant. La substitution donne $-{\underline{k}}^2=\frac{\mathrm{j}\omega }{D}$, soit ${\underline{k}}^2=-\mathrm{j}\frac{\omega }{D}=\frac{\omega }{D}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\pi /2}$. La racine de partie imaginaire négative (onde amortie vers les $z>0$) est $\underline{k}=\sqrt{\frac{\omega }{D}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\pi /4}=\sqrt{\frac{\omega }{2D}}(1-\mathrm{j})$ : $$\underline{k}=\frac{1-\mathrm{j}}{\delta },\delta =\sqrt{\frac{2D}{\omega }}.$$ Ici $k^{\prime }=k^{\prime \prime }=1/\delta$ : la phase se propage à $v_{\phi }=\omega \delta =\sqrt{2D\omega }$, qui dépend de $\omega$ (milieu dispersif), et l'amplitude décroît (milieu absorbant). Sur une longueur d'onde $\lambda =2\pi \delta$, l'amplitude est multipliée par ${\mathrm{e}}^{-2\pi }\approx 1,9\times 10^{-3}$ : c'est le deuxième comportement de la figure, poussé à l'extrême. Homogénéité : $D$ en ${\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}$, donc $\delta$ est une longueur.

4) L'onde amortie et ses deux régimes. La substitution donne $-{\underline{k}}^2+\frac{{\omega }^2}{c^2}-\frac{\mathrm{j}\omega }{c^2\tau }=0$ : $${\underline{k}}^2=\frac{{\omega }^2-\mathrm{j}\omega /\tau }{c^2}=\frac{{\omega }^2}{c^2}(1-\frac{\mathrm{j}}{\omega \tau }).$$ Si $\omega \tau \gg 1$, on développe la racine au premier ordre : $\underline{k}\approx \frac{\omega }{c}(1-\frac{\mathrm{j}}{2\omega \tau })$, d'où $k^{\prime }\approx \omega /c$ et $k^{\prime \prime }\approx \frac{1}{2c\tau }$. L'onde se propage à $c$ et s'atténue lentement, sur $2c\tau$, qui contient $\omega \tau /\pi \gg 1$ longueurs d'onde. Si $\omega \tau \ll 1$, le terme ${\omega }^2$ est négligeable : ${\underline{k}}^2\approx -\mathrm{j}\frac{\omega }{c^2\tau }$, qui est la relation de l'équation (b) avec $$D=c^2\tau .$$ Une même équation passe ainsi de la propagation faiblement amortie à la diffusion selon la valeur du seul nombre $\omega \tau$. Pour un conducteur ohmique, Maxwell-Ampère s'écrit $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\overrightarrow{B}={\mu }_0\gamma \overrightarrow{E}+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$, et $\omega \tau ={\epsilon }_0\omega /\gamma$ est le rapport du courant de déplacement au courant de conduction : $\omega \tau \ll 1$, c'est négliger le courant de déplacement, ce qui mène à l'équation de diffusion de l'effet de peau, avec $D=c^2\tau =1/{\mu }_0\gamma$ (exercice 5).

5) L'équation non linéaire. Avec $s=s_0\cos (\omega t-kz)$, le terme $s\frac{\partial s}{\partial z}=\frac{k{s}_0^2}{2}\sin (2(\omega t-kz))$ oscille à $2\omega$ et ne peut pas compenser $\frac{\partial s}{\partial t}$, qui oscille à $\omega$ : aucune sinusoïde n'est solution, il n'y a pas de relation de dispersion. La non-linéarité crée des harmoniques ; les points de grande amplitude vont plus vite (la vitesse locale vaut $s$), et le profil se raidit, comme une vague qui déferle.

6) Le bilan.

(Trait plein : $k^{\prime }$ ; tirets : $k^{\prime \prime }$. En (b), ${\omega }_0$ est une pulsation de référence, et les deux courbes sont confondues.) Une onde évanescente a $k^{\prime }=0$ et $k^{\prime \prime }\ne 0$ : pas de propagation de phase, et, on le verra à l'exercice 4, pas de transport d'énergie en moyenne ; l'énergie n'est pas dissipée, elle est renvoyée (réflexion totale). Une onde absorbée a $k^{\prime }\ne 0$ et $k^{\prime \prime }\ne 0$ : elle se propage et cède son énergie au milieu en chemin. Le critère « $k^{\prime \prime }\ne 0$ donc absorbant » ne suffit pas : la décroissance de l'amplitude ne dit pas, à elle seule, où va l'énergie.

Ce que l'exercice installe. La méthode en trois temps : vérifier la linéarité, substituer ${\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(\omega t-\underline{k}z)}$, lire $k^{\prime }$ (phase, dispersion) et $k^{\prime \prime }$ (amplitude). Trois équations types à reconnaître au premier coup d'œil : Klein-Gordon (coupure), diffusion ($k^{\prime }=k^{\prime \prime }$), onde amortie (un seul nombre, $\omega \tau$, sépare propagation et diffusion). Et une distinction qui reviendra tout le chapitre : évanescente n'est pas absorbée.