Énergie de l'onde stationnaire : rien ne franchit les nœuds

La stratégie. On calcule $u$ et $\overrightarrow{\Pi }$ directement sur les champs, puis on lit l'équation locale de Poynting comme une équation de conservation : là où ${\Pi }_x$ est nul à tout instant, il y a une cloison que l'énergie ne traverse pas.

1) Énergie et flux. Avec $\frac{B^2}{2{\mu }_0}=\frac{4E_0^2}{2{\mu }_0{c}^2}{\cos }^2(kx){\cos }^2(\omega t)=2{\epsilon }_0{E}_0^2{\cos }^2(kx){\cos }^2(\omega t)$ : $$u(x,t)=2{\epsilon }_0{E}_0^2\left[{\sin }^2(kx){\sin }^2(\omega t)+{\cos }^2(kx){\cos }^2(\omega t)\right].$$ Le vecteur de Poynting est selon ${\overrightarrow{e}}_y\wedge {\overrightarrow{e}}_z={\overrightarrow{e}}_x$ : $${\Pi }_x=\frac{E_y{B}_z}{{\mu }_0}=\frac{4E_0^2}{{\mu }_{0}c}\sin (kx)\cos (kx)\sin (\omega t)\cos (\omega t)=\frac{E_0^2}{{\mu }_{0}c}\sin (2kx)\sin (2\omega t).$$ En moyenne, $⟨{\sin }^2\omega t⟩=⟨{\cos }^2\omega t⟩=\frac{1}{2}$ donne $⟨u⟩={\epsilon }_0{E}_0^2$, uniforme, double de l'énergie moyenne ${\epsilon }_0{E}_0^2/2$ de l'onde incidente seule : l'énergie de l'onde stationnaire est la somme de celles des deux ondes. Et $⟨{\Pi }_x⟩=0$ en tout point. La phrase de l'élève est donc fausse deux fois : l'onde contient de l'énergie, et $\overrightarrow{\Pi }$ n'est nul qu'en moyenne ; à chaque instant, il est non nul presque partout. Le flux moyen nul dit seulement qu'il n'y a pas de transport net.

2) L'équation locale. D'une part, $$\frac{\partial u}{\partial t}=2{\epsilon }_0{E}_0^2\omega \sin (2\omega t)\left[{\sin }^2(kx)-{\cos }^2(kx)\right]=-2{\epsilon }_0{E}_0^2\omega \cos (2kx)\sin (2\omega t).$$ D'autre part, $\frac{\partial {\Pi }_x}{\partial x}=\frac{2k{E}_0^2}{{\mu }_{0}c}\cos (2kx)\sin (2\omega t)$, et $\frac{k}{{\mu }_{0}c}=\frac{\omega }{{\mu }_0{c}^2}={\epsilon }_0\omega$. La somme est nulle : l'équation de Poynting est vérifiée en tout point et à tout instant.

3) Des cloisons tous les quarts de longueur d'onde. ${\Pi }_x$ est nul à tout instant là où $\sin (2kx)=0$, c'est-à-dire en $x=m\lambda /4$ : aux nœuds de $E$ ($x=0,\lambda /2,\dots$, où $\overrightarrow{E}$ est toujours nul) et aux nœuds de $B$ ($x=\lambda /4,3\lambda /4,\dots$, où $\overrightarrow{B}$ est toujours nul). Intégrons l'équation de Poynting sur une tranche $[0,\lambda /4]$ de section unité : la variation de l'énergie $W$ de la tranche est le flux entrant par ses deux faces, $$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}={\Pi }_x(0,t)-{\Pi }_x(\lambda /4,t)=0.$$ L'énergie de la tranche est constante. Comme ${\int }_0^{\lambda /4}{\sin }^2(kx)\mathrm{d}x={\int }_0^{\lambda /4}{\cos }^2(kx)\mathrm{d}x=\frac{\lambda }{8}$, $$W=2{\epsilon }_0{E}_0^2\frac{\lambda }{8}\left({\sin }^2\omega t+{\cos }^2\omega t\right)=\frac{{\epsilon }_0{E}_0^2\lambda }{4}.$$ Le mouvement dans la tranche. À $t=0$, $\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ partout : l'énergie est toute magnétique, $u=2{\epsilon }_0{E}_0^2{\cos }^2(kx)$, massée près du ventre de $B$ en $x=0$. Pour $0<t<T/4$, $\sin (2\omega t)>0$ et, dans la tranche, $\sin (2kx)>0$ : ${\Pi }_x>0$, l'énergie glisse vers $x=\lambda /4$. À $t=T/4$, $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{0}$ : l'énergie est toute électrique, massée près du ventre de $E$ en $x=\lambda /4$. Puis elle revient. L'énergie fait des allers-retours de $\lambda /4$, à la pulsation $2\omega$, en changeant de forme, électrique au ventre de $E$, magnétique au ventre de $B$ : c'est l'oscillateur du cours (échange entre deux formes d'énergie), mais avec un déplacement dans l'espace, enfermé entre deux cloisons.

4) Le four. $\lambda =c/f=12,2\mathrm{cm}$. L'onde incidente seule a l'intensité moyenne $$I_0=\frac{E_0^2}{2{\mu }_{0}c}=\frac{(1,0\times 10^3{)}^2}{2\times 4\pi \times 10^{-7}\times 3,00\times 10^8}\approx 1,33\times 10^3\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}.$$ L'énergie d'une tranche vaut $W=\frac{8,85\times 10^{-12}\times 10^6\times 0,122}{4}\approx 2,7\times 10^{-7}\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-2}$. Le flux instantané atteint son maximum $\frac{E_0^2}{{\mu }_{0}c}=2I_0\approx 2,65\times 10^3\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ au milieu des tranches, en $x=\lambda /8\approx 1,5\mathrm{cm}$ (modulo $\lambda /4$), aux instants $t=T/8$ (modulo $T/4$). Cohérence : faire passer l'énergie $W$ d'un bout à l'autre de la tranche en un quart de période, $T/4\approx 1,0\times 10^{-10}\mathrm{s}$, demande un flux de l'ordre de $W/(T/4)={\epsilon }_0{E}_0^{2}c=E_0^2/({\mu }_{0}c)$ : c'est bien l'ordre du maximum trouvé. Un flux instantané double de l'intensité incidente, pour un flux moyen nul.

Ce que l'exercice installe. $⟨\overrightarrow{\Pi }⟩=\overrightarrow{0}$ signifie « pas de transport net », pas « pas d'énergie » ni « pas de mouvement » : dans une onde stationnaire, l'énergie est enfermée dans des cellules de $\lambda /4$ dont les cloisons sont les nœuds de $E$ et les nœuds de $B$, et elle y fait des allers-retours à $2\omega$ en changeant de forme. L'équation locale de Poynting, intégrée sur un volume, se lit comme un bilan : c'est l'outil de l'énergie stockée dans une cavité (problème, question 2).